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Beliebt Trigonometrie >

cos^2(x)<=-sin(x)

Lösung

cos^{2} (x) \leq - sin (x)

Lösung

- π - arcsin (\frac{- 5 + 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{- 5 + 1}{2}) + 2 πn

Intervall-Notation

[- π - arcsin (\frac{- 5 + 1}{2}) + 2 πn, arcsin (\frac{- 5 + 1}{2}) + 2 πn]

Dezimale

- 2.47535 \dots + 2 πn \leq x \leq - 0.66623 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

cos^{2} (x) \leq - sin (x)

Verschiebe

sin (x)

auf die linke Seite

cos^{2} (x) \leq - sin (x)

Füge

sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

cos^{2} (x) + sin (x) \leq - sin (x) + sin (x)

cos^{2} (x) + sin (x) \leq 0

cos^{2} (x) + sin (x) \leq 0

Verwende die folgenden Identitäten:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Deshalb

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) + sin (x) \leq 0

Angenommen:

u = sin (x)

1 - u^{2} + u \leq 0

1 - u^{2} + u \leq 0 : u \leq \frac{- 5 + 1}{2} or u \geq \frac{5 + 1}{2}

1 - u^{2} + u \leq 0

Vervollständige das Quadrat

1 - u^{2} + u : - (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{5}{4}

1 - u^{2} + u

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c

- u^{2} + u + 1

Schreibe

- u^{2} + u + 1

in dieser Form:

x^{2} + 2 a x + a^{2}

Klammere aus

- 1

- (u^{2} - u - 1)

2 a = - 1 : a = - \frac{1}{2}

2 a = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 a = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 a}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

a = - \frac{1}{2}

a = - \frac{1}{2}

Addiere und subtrahiere

(- \frac{1}{2})^{2}

- (u^{2} - u - 1 + (- \frac{1}{2})^{2} - (- \frac{1}{2})^{2})

x^{2} + 2 a x + a^{2} = (x + a)^{2}

u^{2} - 1 u + (- \frac{1}{2})^{2} = (u - \frac{1}{2})^{2}

- ((u - \frac{1}{2})^{2} - 1 - (- \frac{1}{2})^{2})

Vereinfache

- (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{5}{4}

- (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{5}{4} \leq 0

Verschiebe

\frac{5}{4}

auf die rechte Seite

- (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{5}{4} \leq 0

Subtrahiere

\frac{5}{4}

von beiden Seiten

- (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{5}{4} - \frac{5}{4} \leq 0 - \frac{5}{4}

Vereinfache

- (u - \frac{1}{2})^{2} \leq - \frac{5}{4}

- (u - \frac{1}{2})^{2} \leq - \frac{5}{4}

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

- (u - \frac{1}{2})^{2} \leq - \frac{5}{4}

Multipliziere beide Seiten mit -1 (kehre die Ungleichung um)

(- (u - \frac{1}{2})^{2}) (- 1) \geq (- \frac{5}{4}) (- 1)

Vereinfache

(u - \frac{1}{2})^{2} \geq \frac{5}{4}

(u - \frac{1}{2})^{2} \geq \frac{5}{4}

Für

u^{n} \geq a

, wenn

n

ist gerade dann

u \leq - n a or u \geq n a

u - \frac{1}{2} \leq - \frac{5}{4} or u - \frac{1}{2} \geq \frac{5}{4}

u - \frac{1}{2} \leq - \frac{5}{4} : u \leq \frac{- 5 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} \leq - \frac{5}{4}

Vereinfache

\frac{5}{4} : \frac{5}{2}

\frac{5}{4}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{5}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{5}{2}

u - \frac{1}{2} \leq - \frac{5}{2}

Verschiebe

\frac{1}{2}

auf die rechte Seite

u - \frac{1}{2} \leq - \frac{5}{2}

Füge

\frac{1}{2}

zu beiden Seiten hinzu

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \leq - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}

Vereinfache

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \leq - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}

Vereinfache

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} : u

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \leq 0

= u

Vereinfache

- \frac{5}{2} + \frac{1}{2} : \frac{- 5 + 1}{2}

- \frac{5}{2} + \frac{1}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 5 + 1}{2}

u \leq \frac{- 5 + 1}{2}

u \leq \frac{- 5 + 1}{2}

u \leq \frac{- 5 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} \geq \frac{5}{4} : u \geq \frac{5 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} \geq \frac{5}{4}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

u - \frac{1}{2} \geq \frac{5}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

u - \frac{1}{2} \geq \frac{5}{2}

Verschiebe

\frac{1}{2}

auf die rechte Seite

u - \frac{1}{2} \geq \frac{5}{2}

Füge

\frac{1}{2}

zu beiden Seiten hinzu

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \geq \frac{5}{2} + \frac{1}{2}

Vereinfache

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \geq \frac{5}{2} + \frac{1}{2}

Vereinfache

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} : u

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \geq 0

= u

Vereinfache

\frac{5}{2} + \frac{1}{2} : \frac{5 + 1}{2}

\frac{5}{2} + \frac{1}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 + 1}{2}

u \geq \frac{5 + 1}{2}

u \geq \frac{5 + 1}{2}

u \geq \frac{5 + 1}{2}

Kombiniere die Bereiche

u \leq \frac{- 5 + 1}{2} or u \geq \frac{5 + 1}{2}

u \leq \frac{- 5 + 1}{2} or u \geq \frac{5 + 1}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) \leq \frac{- 5 + 1}{2} or sin (x) \geq \frac{5 + 1}{2}

sin (x) \leq \frac{- 5 + 1}{2} : - π - arcsin (\frac{- 5 + 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{- 5 + 1}{2}) + 2 πn

sin (x) \leq \frac{- 5 + 1}{2}

Für

sin (x) \leq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{- 5 + 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{- 5 + 1}{2}) + 2 πn

sin (x) \geq \frac{5 + 1}{2} :

Falsch für alle

x \in R

sin (x) \geq \frac{5 + 1}{2}

Bereich von

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

sin

function is

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \geq \frac{5 + 1}{2} and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falsch

Angenommen

y = sin (x)

Kombiniere die Bereiche

y \geq \frac{5 + 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y \geq \frac{5 + 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y \geq \frac{5 + 1}{2}

und

- 1 \leq y \leq 1

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Kombiniere die Bereiche

- π - arcsin (\frac{- 5 + 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{- 5 + 1}{2}) + 2 πn or Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- π - arcsin (\frac{- 5 + 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{- 5 + 1}{2}) + 2 πn

Beliebte Beispiele

tan(θ)>0,sin(θ)<0

tan (θ) > 0, sin (θ) < 0

(1+2sin(x))/((cos(2x)))>0

\frac{1 + 2 sin ( x )}{( cos ( 2 x ) )} > 0

(cos^2(x)-1/2)/(tan(x)-sqrt(3))<0

\frac{cos ^{2} ( x ) - \frac{1}{2}}{tan ( x ) - 3} < 0

tan(θ)>0,cot(θ)>0

tan (θ) > 0, cot (θ) > 0

6sin(θ)>= 0

6 sin (θ) \geq 0