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人気のある三角関数 >

(4cos^2(x)-3)(1-tan^2(x))<= 0

解

(4 cos^{2} (x) - 3) (1 - tan^{2} (x)) \leq 0

解

\frac{π}{6} + πn \leq x \leq \frac{π}{4} + πn or \frac{3 π}{4} + πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + πn

+2

区間表記

[\frac{π}{6} + πn, \frac{π}{4} + πn] \cup [\frac{3 π}{4} + πn, \frac{5 π}{6} + πn]

十進法表記

0.52359 \dots + πn \leq x \leq 0.78539 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn \leq x \leq 2.61799 \dots + πn

解答ステップ

(4 cos^{2} (x) - 3) (1 - tan^{2} (x)) \leq 0

次の恒等を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

このため

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

(4 (1 - sin^{2} (x)) - 3) (1 - tan^{2} (x)) \leq 0

簡素化

(4 (1 - sin^{2} (x)) - 3) (1 - tan^{2} (x)) : (- 4 sin^{2} (x) + 1) (1 - tan^{2} (x))

(4 (1 - sin^{2} (x)) - 3) (1 - tan^{2} (x))

拡張

4 (1 - sin^{2} (x)) - 3 : - 4 sin^{2} (x) + 1

4 (1 - sin^{2} (x)) - 3

拡張

4 (1 - sin^{2} (x)) : 4 - 4 sin^{2} (x)

4 (1 - sin^{2} (x))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (x)

数を乗じる:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (x)

= 4 - 4 sin^{2} (x) - 3

簡素化

4 - 4 sin^{2} (x) - 3 : - 4 sin^{2} (x) + 1

4 - 4 sin^{2} (x) - 3

条件のようなグループ

= - 4 sin^{2} (x) + 4 - 3

数を足す/引く:

4 - 3 = 1

= - 4 sin^{2} (x) + 1

= - 4 sin^{2} (x) + 1

= (- 4 sin^{2} (x) + 1) (- tan^{2} (x) + 1)

= (- 4 sin^{2} (x) + 1) (1 - tan^{2} (x))

(- 4 sin^{2} (x) + 1) (1 - tan^{2} (x)) \leq 0

以下の周期性:

(- 4 sin^{2} (x) + 1) (1 - tan^{2} (x)) : π

(- 4 sin^{2} (x) + 1) (1 - tan^{2} (x))

は以下の関数と周期で構成されている:

sin (x)

以下の周期性を伴う:

2 π

複合周期性は:

= π

サイン, コサインで表わす

(- 4 sin^{2} (x) + 1) (1 - tan^{2} (x)) \leq 0

基本的な三角関数の公式を使用する:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

(- 4 sin^{2} (x) + 1) (1 - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) \leq 0

(- 4 sin^{2} (x) + 1) (1 - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) \leq 0

簡素化

(- 4 sin^{2} (x) + 1) (1 - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) : \frac{( cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) ) ( - 4 sin ^{2} ( x ) + 1 )}{cos ^{2} ( x )}

(- 4 sin^{2} (x) + 1) (1 - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2})

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= (- 4 sin^{2} (x) + 1) (- \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + 1)

結合

1 - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} : \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

1 - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

元を分数に変換する:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

乗算:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} (- 4 sin^{2} (x) + 1)

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) ) ( - 4 sin ^{2} ( x ) + 1 )}{cos ^{2} ( x )}

\frac{( cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) ) ( - 4 sin ^{2} ( x ) + 1 )}{cos ^{2} ( x )} \leq 0

以下の

\frac{( cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) ) ( - 4 sin ^{2} ( x ) + 1 )}{cos ^{2} ( x )}

のゼロと未定義ポイントを求める

0 \leq x < π

ゼロを求めるには, 不等式をゼロに設定する

\frac{( cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) ) ( - 4 sin ^{2} ( x ) + 1 )}{cos ^{2} ( x )} = 0

\frac{( cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) ) ( - 4 sin ^{2} ( x ) + 1 )}{cos ^{2} ( x )} = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}, x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

\frac{( cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) ) ( - 4 sin ^{2} ( x ) + 1 )}{cos ^{2} ( x )} = 0, 0 \leq x < π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

(cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) (- 4 sin^{2} (x) + 1) = 0

各部分を別個に解く

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = 0 or - 4 sin^{2} (x) + 1 = 0

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = 0, 0 \leq x < π

三角関数の公式を使用して書き換える

cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

2倍角の公式を使用:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= cos (2 x)

cos (2 x) = 0

以下の一般解

cos (2 x) = 0

cos (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn, 2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn, 2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

解く

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn : x = \frac{π}{4} + πn

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

以下で両辺を割る

2

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

以下で両辺を割る

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

簡素化

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

簡素化

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= x

簡素化

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{4} + πn

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

数を乗じる:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

解く

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn : x = \frac{3 π}{4} + πn

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

以下で両辺を割る

2

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

以下で両辺を割る

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

簡素化

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

簡素化

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= x

簡素化

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{3 π}{4} + πn

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} = \frac{3 π}{4}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 2}

数を乗じる:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn, x = \frac{3 π}{4} + πn

範囲の解答

0 \leq x < π

x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

- 4 sin^{2} (x) + 1 = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

- 4 sin^{2} (x) + 1 = 0, 0 \leq x < π

置換で解く

- 4 sin^{2} (x) + 1 = 0

仮定:

sin (x) = u

- 4 u^{2} + 1 = 0

- 4 u^{2} + 1 = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

- 4 u^{2} + 1 = 0

1

を右側に移動します

- 4 u^{2} + 1 = 0

両辺から

1

を引く

- 4 u^{2} + 1 - 1 = 0 - 1

簡素化

- 4 u^{2} = - 1

- 4 u^{2} = - 1

以下で両辺を割る

- 4

- 4 u^{2} = - 1

以下で両辺を割る

- 4

\frac{- 4 u ^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}

簡素化

u^{2} = \frac{1}{4}

u^{2} = \frac{1}{4}

x^{2} = f (a)

の場合, 解は

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{4}, u = - \frac{1}{4}

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

累乗根の規則を適用する:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

, 以下を想定

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

数を因数に分解する:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

規則を適用

1 = 1

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{4}

簡素化

\frac{1}{4} : \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

累乗根の規則を適用する:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

, 以下を想定

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

数を因数に分解する:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2}

規則を適用

1 = 1

= - \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

代用を戻す

u = sin (x)

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

sin (x) = \frac{1}{2}, 0 \leq x < π

以下の一般解

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

範囲の解答

0 \leq x < π

x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

sin (x) = - \frac{1}{2}, 0 \leq x < π :

解なし

sin (x) = - \frac{1}{2}, 0 \leq x < π

以下の一般解

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

範囲の解答

0 \leq x < π

解なし

すべての解を組み合わせる

x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

すべての解を組み合わせる

x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}, x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

未定義ポイントを求める:

x = \frac{π}{2}

分母のゼロを求める

cos^{2} (x) = 0

規則を適用

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

cos (x) = 0

以下の一般解

cos (x) = 0

cos (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

範囲の解答

0 \leq x < π

x = \frac{π}{2}

\frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{6}

区間を特定する

0 < x < \frac{π}{6}, \frac{π}{6} < x < \frac{π}{4}, \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} < x < π

表で要約する:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) + 1 cos^{2} (x) \frac{( c o s ^{2} ( x ) - s i n ^{2} ( x ) ) ( - 4 s i n ^{2} ( x ) + 1 )}{c o s ^{2} ( x )} x = 0 + + + + 0 < x < \frac{π}{6} + + + + x = \frac{π}{6} + 0 + 0 \frac{π}{6} < x < \frac{π}{4} + - + - x = \frac{π}{4} 0 - + 0 \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} - - + + x = \frac{π}{2} - - 0 未定義 \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4} - - + + x = \frac{3 π}{4} 0 - + 0 \frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{6} + - + - x = \frac{5 π}{6} + 0 + 0 \frac{5 π}{6} < x < π + + + + x = π + + + +

必要条件を満たす区間を特定する:

\leq 0

x = \frac{π}{6} or \frac{π}{6} < x < \frac{π}{4} or x = \frac{π}{4} or x = \frac{3 π}{4} or \frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{6} or x = \frac{5 π}{6}

重複している区間をマージする

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{4} or \frac{3 π}{4} \leq x < \frac{5 π}{6} or x = \frac{5 π}{6}

2つの区間の和集合は, 区間

x = \frac{π}{6}

または

のいずれかの数の集合である

\frac{π}{6} < x < \frac{π}{4}

\frac{π}{6} \leq x < \frac{π}{4}

2つの区間の和集合は, 区間

\frac{π}{6} \leq x < \frac{π}{4}

または

のいずれかの数の集合である

x = \frac{π}{4}

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{4}

2つの区間の和集合は, 区間

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{4}

または

のいずれかの数の集合である

x = \frac{3 π}{4}

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{4} or x = \frac{3 π}{4}

2つの区間の和集合は, 区間

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{4} or x = \frac{3 π}{4}

または

のいずれかの数の集合である

\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{4} or \frac{3 π}{4} \leq x < \frac{5 π}{6}

2つの区間の和集合は, 区間

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{4} or \frac{3 π}{4} \leq x < \frac{5 π}{6}

または

のいずれかの数の集合である

x = \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{4} or \frac{3 π}{4} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{4} or \frac{3 π}{4} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

以下の周期性を適用する:

(- 4 sin^{2} (x) + 1) (1 - tan^{2} (x))

\frac{π}{6} + πn \leq x \leq \frac{π}{4} + πn or \frac{3 π}{4} + πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + πn

人気の例

cot(θ)<0,sec(θ)>0

cot (θ) < 0, sec (θ) > 0

cos(θ)>0,cot(θ)>0

cos (θ) > 0, cot (θ) > 0

sec (x) < - 1

1 + cos (x) \geq 0

(sin(x)+cos(x))^2>= 3-2tan(x)+tan^2(x)

(sin (x) + cos (x))^{2} \geq 3 - 2 tan (x) + tan^{2} (x)