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Popolare Trigonometria >

(sin(x)-1/2)(sin(x)-7/2)<= 0

Soluzione

(sin (x) - \frac{1}{2}) (sin (x) - \frac{7}{2}) \leq 0

Soluzione

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Notazione dell’intervallo

[\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn]

Decimale

0.52359 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.61799 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

(sin (x) - \frac{1}{2}) (sin (x) - \frac{7}{2}) \leq 0

Sia:

u = sin (x)

(u - \frac{1}{2}) (u - \frac{7}{2}) \leq 0

(u - \frac{1}{2}) (u - \frac{7}{2}) \leq 0 : \frac{1}{2} \leq u \leq \frac{7}{2}

(u - \frac{1}{2}) (u - \frac{7}{2}) \leq 0

Riscrivere in forma standard

(u - \frac{1}{2}) (u - \frac{7}{2}) \leq 0

Espandi

(u - \frac{1}{2}) (u - \frac{7}{2}) : u^{2} - 4 u + \frac{7}{4}

(u - \frac{1}{2}) (u - \frac{7}{2})

Applicare il metodo FOIL:

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

a = u, b = - \frac{1}{2}, c = u, d = - \frac{7}{2}

= uu + u (- \frac{7}{2}) + (- \frac{1}{2}) u + (- \frac{1}{2}) (- \frac{7}{2})

Applicare le regole di sottrazione-addizione

+ (- a) = - a, (- a) (- b) = ab

= uu - \frac{7}{2} u - \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}

Semplifica

uu - \frac{7}{2} u - \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2} : u^{2} - 4 u + \frac{7}{4}

uu - \frac{7}{2} u - \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}

Aggiungi elementi simili:

- \frac{7}{2} u - \frac{1}{2} u = - 4 u

- \frac{7}{2} u - \frac{1}{2} u

Fattorizzare dal termine comune

u

= u (- \frac{7}{2} - \frac{1}{2})

- \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = - 4

- \frac{7}{2} - \frac{1}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 7 - 1}{2}

Sottrai i numeri:

- 7 - 1 = - 8

= \frac{- 8}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{2}

Dividi i numeri:

\frac{8}{2} = 4

= - 4

= - 4 u

= uu - 4 u + \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}

uu = u^{2}

uu

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= u^{2}

\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2} = \frac{7}{4}

\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}

Moltiplica le frazioni:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 2}

Affinare

= \frac{7}{4}

= u^{2} - 4 u + \frac{7}{4}

= u^{2} - 4 u + \frac{7}{4}

u^{2} - 4 u + \frac{7}{4} \leq 0

Moltiplica entrambi i lati per

4

u^{2} \cdot 4 - 4 u \cdot 4 + \frac{7}{4} \cdot 4 \leq 0 \cdot 4

4 u^{2} - 16 u + 7 \leq 0

4 u^{2} - 16 u + 7 \leq 0

Fattorizza

4 u^{2} - 16 u + 7 : (2 u - 1) (2 u - 7)

4 u^{2} - 16 u + 7

Suddividere l'espressione in gruppi

4 u^{2} - 16 u + 7

Definizione

Fattori di

28 : 1, 2, 4, 7, 14, 28

28

Divisori (Fattori)

Trova i fattori primi di

28 : 2, 2, 7

28

28

diviso per

228 = 14 \cdot 2

= 2 \cdot 14

14

diviso per

214 = 7 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 7

Moltiplica i fattori primi di

28 : 4, 14

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 7 = 14

4, 14

4, 14

Aggiungi i fattori primi:

2, 7

Aggiungi 1 al numero

28

stesso

1, 28

I fattori di

28

1, 2, 4, 7, 14, 28

Fattori negativi di

28 : - 1, - 2, - 4, - 7, - 14, - 28

Moltiplica i fattori per

- 1

per ottenere i fattori negativi

- 1, - 2, - 4, - 7, - 14, - 28

Per ogni due fattori tali che

u * v = 28,

controllare se

u + v = - 16

Verifica

u = 1, v = 28 : u * v = 28, u + v = 29 \Rightarrow

FalsoVerifica

u = 2, v = 14 : u * v = 28, u + v = 16 \Rightarrow

Falso

u = - 2, v = - 14

Raggruppa in

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(4 u^{2} - 2 u) + (- 14 u + 7)

= (4 u^{2} - 2 u) + (- 14 u + 7)

Fattorizza

2 u

4 u^{2} - 2 u : 2 u (2 u - 1)

4 u^{2} - 2 u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 4 uu - 2 u

Riscrivi

4

come

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 uu - 2 u

Fattorizzare dal termine comune

2 u

= 2 u (2 u - 1)

Fattorizza

- 7

- 14 u + 7 : - 7 (2 u - 1)

- 14 u + 7

Riscrivi

14

come

7 \cdot 2

= - 7 \cdot 2 u + 7

Fattorizzare dal termine comune

- 7

= - 7 (2 u - 1)

= 2 u (2 u - 1) - 7 (2 u - 1)

Fattorizzare dal termine comune

2 u - 1

= (2 u - 1) (2 u - 7)

(2 u - 1) (2 u - 7) \leq 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

(2 u - 1) (2 u - 7)

Trova i segni di

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

2 u = 1

2 u = 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u = 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Semplificare

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

2 u < 1

2 u < 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u < 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Semplificare

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

2 u > 1

2 u > 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u > 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Semplificare

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Trova i segni di

2 u - 7

2 u - 7 = 0 : u = \frac{7}{2}

2 u - 7 = 0

Spostare

7

a destra dell'equazione

2 u - 7 = 0

Aggiungi

7

ad entrambi i lati

2 u - 7 + 7 = 0 + 7

Semplificare

2 u = 7

2 u = 7

Dividere entrambi i lati per

2

2 u = 7

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} = \frac{7}{2}

Semplificare

u = \frac{7}{2}

u = \frac{7}{2}

2 u - 7 < 0 : u < \frac{7}{2}

2 u - 7 < 0

Spostare

7

a destra dell'equazione

2 u - 7 < 0

Aggiungi

7

ad entrambi i lati

2 u - 7 + 7 < 0 + 7

Semplificare

2 u < 7

2 u < 7

Dividere entrambi i lati per

2

2 u < 7

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} < \frac{7}{2}

Semplificare

u < \frac{7}{2}

u < \frac{7}{2}

2 u - 7 > 0 : u > \frac{7}{2}

2 u - 7 > 0

Spostare

7

a destra dell'equazione

2 u - 7 > 0

Aggiungi

7

ad entrambi i lati

2 u - 7 + 7 > 0 + 7

Semplificare

2 u > 7

2 u > 7

Dividere entrambi i lati per

2

2 u > 7

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} > \frac{7}{2}

Semplificare

u > \frac{7}{2}

u > \frac{7}{2}

Riassumere in una tabella:

2 u - 1 2 u - 7 (2 u - 1) (2 u - 7) u < \frac{1}{2} - - + u = \frac{1}{2} 0 - 0 \frac{1}{2} < u < \frac{7}{2} + - - u = \frac{7}{2} + 00 u > \frac{7}{2} + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

\leq 0

u = \frac{1}{2} or \frac{1}{2} < u < \frac{7}{2} or u = \frac{7}{2}

Unire gli intervalli sovrapposti

\frac{1}{2} \leq u < \frac{7}{2} or u = \frac{7}{2}

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u = \frac{1}{2}

\frac{1}{2} < u < \frac{7}{2}

\frac{1}{2} \leq u < \frac{7}{2}

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

\frac{1}{2} \leq u < \frac{7}{2}

u = \frac{7}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{7}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{7}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{7}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{7}{2}

Sostituire indietro

u = sin (x)

\frac{1}{2} \leq sin (x) \leq \frac{7}{2}

a \leq u \leq b

allora

a \leq u and u \leq b

\frac{1}{2} \leq sin (x) and sin (x) \leq \frac{7}{2}

\frac{1}{2} \leq sin (x) : \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

\frac{1}{2} \leq sin (x)

Scambia i lati

sin (x) \geq \frac{1}{2}

Per

sin (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

allora

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

Semplificare

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

Semplificare

π - \frac{π}{6}

Converti l'elemento in frazione:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

Aggiungi elementi simili:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{7}{2} :

Vero per tutti

x \in R

sin (x) \leq \frac{7}{2}

Intervallo di

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definizione dell'intervallo di valori della funzione

L'intervallo della funzione di base

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq \frac{7}{2} and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Lasciare

y = sin (x)

Combina gli intervalli

y \leq \frac{7}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Unire gli intervalli sovrapposti

y \leq \frac{7}{2} and - 1 \leq y \leq 1

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

y \leq \frac{7}{2}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vero per tutte x

Vero per tutti x \in R

Combina gli intervalli

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn and Vero per tutti x \in R

Unire gli intervalli sovrapposti

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Esempi popolari

sin(x)-2<=-5/2

sin (x) - 2 \leq - \frac{5}{2}

tan(1/x)<= tan(1/(x+1))

tan (\frac{1}{x}) \leq tan (\frac{1}{x + 1})

cos(x^4)+sin(x^4)>= 0.5

cos (x^{4}) + sin (x^{4}) \geq 0.5

1-tan(x)<2

1 - tan (x) < 2

2sin(x)-1>=-3

2 sin (x) - 1 \geq - 3