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Popolare Trigonometria >

(1-2cos^2(x))/(tan(x))>0

Soluzione

\frac{1 - 2 cos ^{2} ( x )}{tan ( x )} > 0

Soluzione

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x < π + πn

Notazione dell’intervallo

(\frac{π}{4} + πn, \frac{π}{2} + πn) \cup (\frac{3 π}{4} + πn, π + πn)

Decimale

0.78539 \dots + πn < x < 1.57079 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn < x < 3.14159 \dots + πn

Fasi della soluzione

\frac{1 - 2 cos ^{2} ( x )}{tan ( x )} > 0

Usare l'identità seguente:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Quindi

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

\frac{1 - 2 ( 1 - sin ^{2} ( x ) )}{tan ( x )} > 0

Semplifica

\frac{1 - 2 ( 1 - sin ^{2} ( x ) )}{tan ( x )} : \frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{tan ( x )}

\frac{1 - 2 ( 1 - sin ^{2} ( x ) )}{tan ( x )}

Espandi

1 - 2 (1 - sin^{2} (x)) : 2 sin^{2} (x) - 1

1 - 2 (1 - sin^{2} (x))

Espandi

- 2 (1 - sin^{2} (x)) : - 2 + 2 sin^{2} (x)

- 2 (1 - sin^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 2 \cdot 1 - (- 2) sin^{2} (x)

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 + 2 sin^{2} (x)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 sin^{2} (x)

= 1 - 2 + 2 sin^{2} (x)

Sottrai i numeri:

1 - 2 = - 1

= 2 sin^{2} (x) - 1

= \frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{tan ( x )}

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{tan ( x )} > 0

Periodicità di

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{tan ( x )} : π

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{tan ( x )}

è composta dalle seguenti funzioni e periodi:

sin (x)

con periodicità di

2 π

La periodicità composta è:

= π

Esprimere con sen e cos

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{tan ( x )} > 0

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}} > 0

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}} > 0

Semplificare

\frac{cos ( x ) ( 2 sin ^{2} ( x ) - 1 )}{sin ( x )} > 0

Trova gli zeri e i punti non definiti della

\frac{cos ( x ) ( 2 sin ^{2} ( x ) - 1 )}{sin ( x )}

per

0 \leq x < π

Per trovare gli zeri, imposta l'ineguaglianza a zero

\frac{cos ( x ) ( 2 sin ^{2} ( x ) - 1 )}{sin ( x )} = 0

\frac{cos ( x ) ( 2 sin ^{2} ( x ) - 1 )}{sin ( x )} = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{2}, x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

\frac{cos ( x ) ( 2 sin ^{2} ( x ) - 1 )}{sin ( x )} = 0, 0 \leq x < π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (x) (2 sin^{2} (x) - 1) = 0

Risolvere ogni parte separatamente

cos (x) = 0 or 2 sin^{2} (x) - 1 = 0

cos (x) = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{2}

cos (x) = 0, 0 \leq x < π

Soluzioni generali per

cos (x) = 0

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq x < π

x = \frac{π}{2}

2 sin^{2} (x) - 1 = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

2 sin^{2} (x) - 1 = 0, 0 \leq x < π

Risolvi per sostituzione

2 sin^{2} (x) - 1 = 0

Sia:

sin (x) = u

2 u^{2} - 1 = 0

2 u^{2} - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

2 u^{2} - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u^{2} - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u^{2} - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

2 u^{2} = 1

2 u^{2} = 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u^{2} = 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u ^{2}}{2} = \frac{1}{2}

Semplificare

u^{2} = \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Sostituire indietro

u = sin (x)

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

sin (x) = \frac{1}{2}, 0 \leq x < π

Soluzioni generali per

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq x < π

x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

sin (x) = - \frac{1}{2}, 0 \leq x < π :

Nessuna soluzione

sin (x) = - \frac{1}{2}, 0 \leq x < π

Soluzioni generali per

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq x < π

Nessuna soluzione

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{2}, x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

Trova i punti non definiti:

x = 0

Trova le radici del denominatore

sin (x) = 0

Soluzioni generali per

sin (x) = 0

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Risolvi

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq x < π

x = 0

0, \frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}

Identifica gli intervalli

0 < x < \frac{π}{4}, \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < x < π

Riassumere in una tabella:

cos (x) 2 sin^{2} (x) - 1 sin (x) \frac{c o s ( x ) ( 2 s i n ^{2} ( x ) - 1 )}{s i n ( x )} x = 0 + - 0 “ N o n d e f ini t o “ 0 < x < \frac{π}{4} + - + - x = \frac{π}{4} + 0 + 0 \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} + + + + x = \frac{π}{2} 0 + + 0 \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4} - + + - x = \frac{3 π}{4} - 0 + 0 \frac{3 π}{4} < x < π - - + + x = π - - 0 “ N o n d e f ini t o “

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

> 0

\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x < π

Applicare la periodicità di

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{tan ( x )}

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x < π + πn

Esempi popolari

2cos^2(x)+cos(x)>0

tan(2x)<= sqrt(3)

(2sin(θ)cos(θ))/((3cos^2(θ)+1))>= 16/45

cos(2t)>=-1/2

-(-1-cos(t))>0