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受欢迎的三角函数 >

(2sin(θ)cos(θ))/((3cos^2(θ)+1))>= 16/45

解答

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{( 3 cos ^{2} ( θ ) + 1 )} \geq \frac{16}{45}

解答

πn \leq θ \leq \frac{π}{2} + πn

+2

间隔符号

[πn, \frac{π}{2} + πn]

十进制

πn \leq θ \leq 1.57079 \dots + πn

求解步骤

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{3 cos ^{2} ( θ ) + 1} \geq \frac{16}{45}

利用以下特性:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

因此

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{3 ( 1 - sin ^{2} ( θ ) ) + 1} \geq \frac{16}{45}

化简

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{3 ( 1 - sin ^{2} ( θ ) ) + 1} : \frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{- 3 sin ^{2} ( θ ) + 4}

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{3 ( 1 - sin ^{2} ( θ ) ) + 1}

乘开

3 (1 - sin^{2} (θ)) + 1 : - 3 sin^{2} (θ) + 4

3 (1 - sin^{2} (θ)) + 1

乘开

3 (1 - sin^{2} (θ)) : 3 - 3 sin^{2} (θ)

3 (1 - sin^{2} (θ))

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= 3 \cdot 1 - 3 sin^{2} (θ)

数字相乘:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 sin^{2} (θ)

= 3 - 3 sin^{2} (θ) + 1

化简

3 - 3 sin^{2} (θ) + 1 : - 3 sin^{2} (θ) + 4

3 - 3 sin^{2} (θ) + 1

对同类项分组

= - 3 sin^{2} (θ) + 3 + 1

数字相加:

3 + 1 = 4

= - 3 sin^{2} (θ) + 4

= - 3 sin^{2} (θ) + 4

= \frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{- 3 sin ^{2} ( θ ) + 4}

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{- 3 sin ^{2} ( θ ) + 4} \geq \frac{16}{45}

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{- 3 sin ^{2} ( θ ) + 4}

的周期:

π

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{- 3 sin ^{2} ( θ ) + 4}

包含以下函数及对应周期:

sin (θ)

的周期为

2 π

复合周期为:

= π

确定

0 \leq θ < π

时

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{- 3 sin ^{2} ( θ ) + 4}

的零点和无定义点

要找到零点，将不等式设置为零

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{- 3 sin ^{2} ( θ ) + 4} = 0

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{- 3 sin ^{2} ( θ ) + 4} = 0, 0 \leq θ < π : θ = 0, θ = \frac{π}{2}

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{- 3 sin ^{2} ( θ ) + 4} = 0, 0 \leq θ < π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 sin (θ) cos (θ) = 0

分别求解每个部分

sin (θ) = 0 or cos (θ) = 0

sin (θ) = 0, 0 \leq θ < π : θ = 0

sin (θ) = 0, 0 \leq θ < π

sin (θ) = 0

的通解

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

解

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

在

0 \leq θ < π

范围内的解

θ = 0

cos (θ) = 0, 0 \leq θ < π : θ = \frac{π}{2}

cos (θ) = 0, 0 \leq θ < π

cos (θ) = 0

的通解

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

在

0 \leq θ < π

范围内的解

θ = \frac{π}{2}

合并所有解

θ = 0, θ = \frac{π}{2}

确定无定义点:

无解

找到分母的零解

- 3 sin^{2} (θ) + 4 = 0

用替代法求解

- 3 sin^{2} (θ) + 4 = 0

令

: sin (θ) = u

- 3 u^{2} + 4 = 0

- 3 u^{2} + 4 = 0 : u = \frac{2 3}{3}, u = - \frac{2 3}{3}

- 3 u^{2} + 4 = 0

将

4

到右边

- 3 u^{2} + 4 = 0

两边减去

4

- 3 u^{2} + 4 - 4 = 0 - 4

化简

- 3 u^{2} = - 4

- 3 u^{2} = - 4

两边除以

- 3

- 3 u^{2} = - 4

两边除以

- 3

\frac{- 3 u ^{2}}{- 3} = \frac{- 4}{- 3}

化简

u^{2} = \frac{4}{3}

u^{2} = \frac{4}{3}

对于

x^{2} = f (a)

解为

x = f (a), - f (a)

u = \frac{4}{3}, u = - \frac{4}{3}

\frac{4}{3} = \frac{2 3}{3}

\frac{4}{3}

使用根式运算法则:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

假定

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{4}{3}

4 = 2

4

因式分解数字:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

使用根式运算法则:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{2}{3}

\frac{2}{3}

有理化:

\frac{2 3}{3}

\frac{2}{3}

乘以共轭根式

\frac{3}{3}

= \frac{2 3}{3 3}

33 = 3

33

使用根式运算法则:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{2 3}{3}

= \frac{2 3}{3}

- \frac{4}{3} = - \frac{2 3}{3}

- \frac{4}{3}

化简

\frac{4}{3} : \frac{2}{3}

\frac{4}{3}

使用根式运算法则:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

假定

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{4}{3}

4 = 2

4

因式分解数字:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

使用根式运算法则:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{2}{3}

= - \frac{2}{3}

- \frac{2}{3}

有理化:

- \frac{2 3}{3}

- \frac{2}{3}

乘以共轭根式

\frac{3}{3}

= - \frac{2 3}{3 3}

33 = 3

33

使用根式运算法则:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{2 3}{3}

= - \frac{2 3}{3}

u = \frac{2 3}{3}, u = - \frac{2 3}{3}

u = sin (θ)

代回

sin (θ) = \frac{2 3}{3}, sin (θ) = - \frac{2 3}{3}

sin (θ) = \frac{2 3}{3}, sin (θ) = - \frac{2 3}{3}

sin (θ) = \frac{2 3}{3}, 0 \leq θ < π :

无解

sin (θ) = \frac{2 3}{3}, 0 \leq θ < π

- 1 \leq sin (x) \leq 1

无解

sin (θ) = - \frac{2 3}{3}, 0 \leq θ < π :

无解

sin (θ) = - \frac{2 3}{3}, 0 \leq θ < π

- 1 \leq sin (x) \leq 1

无解

合并所有解

θ \in R 无解

0, \frac{π}{2}

确定区间

0 < θ < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < θ < π

总结如下表：

sin (θ) cos (θ) - 3 sin^{2} (θ) + 4 \frac{2 s i n ( θ ) c o s ( θ )}{- 3 s i n ^{2} ( θ ) + 4} θ = 0 0 + + 0 0 < θ < \frac{π}{2} + + + + θ = \frac{π}{2} + 0 + 0 \frac{π}{2} < θ < π + - + - θ = π 0 - + 0

确定满足所需条件的区间：

\geq 0

θ = 0 or 0 < θ < \frac{π}{2} or θ = \frac{π}{2} or θ = π

合并重叠的区间

0 \leq θ \leq \frac{π}{2} or θ = π

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

θ = 0

or

0 < θ < \frac{π}{2}

0 \leq θ < \frac{π}{2}

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

0 \leq θ < \frac{π}{2}

or

θ = \frac{π}{2}

0 \leq θ \leq \frac{π}{2}

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

0 \leq θ \leq \frac{π}{2}

or

θ = π

0 \leq θ \leq \frac{π}{2} or θ = π

0 \leq θ \leq \frac{π}{2} or θ = π

使用周期

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{- 3 sin ^{2} ( θ ) + 4}

πn \leq θ \leq \frac{π}{2} + πn

流行的例子

cos (2 t) \geq - \frac{1}{2}

- (- 1 - cos (t)) > 0

cos (\frac{x}{2}) > 0

\frac{1}{2} > sin (\frac{x}{2})

sin(x)<(-sqrt(3))/2

sin (x) < \frac{- 3}{2}