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Beliebt Trigonometrie >

2sin^2(x)+cos(x)-1>= 0

Lösung

2 sin^{2} (x) + cos (x) - 1 \geq 0

Lösung

- \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn

Intervall-Notation

[- \frac{2 π}{3} + 2 πn, \frac{2 π}{3} + 2 πn]

Dezimale

- 2.09439 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.09439 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

2 sin^{2} (x) + cos (x) - 1 \geq 0

Verwende die folgenden Identitäten:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Deshalb

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

2 (1 - cos^{2} (x)) + cos (x) - 1 \geq 0

Vereinfache

2 (1 - cos^{2} (x)) + cos (x) - 1 : cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 1

2 (1 - cos^{2} (x)) + cos (x) - 1

Multipliziere aus

2 (1 - cos^{2} (x)) : 2 - 2 cos^{2} (x)

2 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 2 \cdot 1 - 2 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 cos^{2} (x)

= 2 - 2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1

Vereinfache

2 - 2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1 : cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 1

2 - 2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2 cos^{2} (x) + cos (x) + 2 - 1

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

2 - 1 = 1

= cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 1

= cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 1

cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 1 \geq 0

Angenommen:

u = cos (x)

u - 2 u^{2} + 1 \geq 0

u - 2 u^{2} + 1 \geq 0 : - \frac{1}{2} \leq u \leq 1

u - 2 u^{2} + 1 \geq 0

Faktorisiere

u - 2 u^{2} + 1 : - (2 u + 1) (u - 1)

u - 2 u^{2} + 1

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (2 u^{2} - u - 1)

Faktorisiere

2 u^{2} - u - 1 : (2 u + 1) (u - 1)

2 u^{2} - u - 1

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c

= 2 u^{2} - u - 1

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

2 u^{2} - u - 1

Definition

Faktoren von

2 : 1, 2

2

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Addiere 1

1

Die Faktoren von

2

1, 2

Negative Faktoren von

2 : - 1, - 2

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = - 2,

prüfe, ob

u + v = - 1

Prüfe

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

WahrPrüfe

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Falsch

u = 1, v = - 2

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

= (2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

Klammere

u

aus

2 u^{2} + u

aus

: u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (2 u + 1)

Klammere

- 1

aus

- 2 u - 1

aus

: - (2 u + 1)

- 2 u - 1

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (2 u + 1)

= u (2 u + 1) - (2 u + 1)

Klammere gleiche Terme aus

2 u + 1

= (2 u + 1) (u - 1)

= - (2 u + 1) (u - 1)

- (2 u + 1) (u - 1) \geq 0

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

(drehe die Ungleichung um)

(- (2 u + 1) (u - 1)) (- 1) \leq 0 \cdot (- 1)

Vereinfache

(2 u + 1) (u - 1) \leq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

(2 u + 1) (u - 1)

Finde die Vorzeichen von

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 u = - 1

2 u = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u + 1 < 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

Vereinfache

2 u < - 1

2 u < - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u < - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Vereinfache

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u + 1 > 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

Vereinfache

2 u > - 1

2 u > - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u > - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Vereinfache

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

Finde die Vorzeichen von

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

u > 1

u > 1

Fasse in einer Tabelle zusammen:

2 u + 1 u - 1 (2 u + 1) (u - 1) u < - \frac{1}{2} - - + u = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\leq 0

u = - \frac{1}{2} or - \frac{1}{2} < u < 1 or u = 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- \frac{1}{2} \leq u < 1 or u = 1

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u = - \frac{1}{2}

oder

- \frac{1}{2} < u < 1

- \frac{1}{2} \leq u < 1

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

- \frac{1}{2} \leq u < 1

oder

u = 1

- \frac{1}{2} \leq u \leq 1

- \frac{1}{2} \leq u \leq 1

- \frac{1}{2} \leq u \leq 1

- \frac{1}{2} \leq u \leq 1

Setze in

u = cos (x)

ein

- \frac{1}{2} \leq cos (x) \leq 1

Wenn

a \leq u \leq b

dann

a \leq u and u \leq b

- \frac{1}{2} \leq cos (x) and cos (x) \leq 1

- \frac{1}{2} \leq cos (x) : - \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn

- \frac{1}{2} \leq cos (x)

Tausche die Seiten

cos (x) \geq - \frac{1}{2}

Für

cos (x) \geq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Vereinfache

- arccos (- \frac{1}{2}) : - \frac{2 π}{3}

- arccos (- \frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{2 π}{3}

Vereinfache

arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{2 π}{3}

arccos (- \frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3}

- \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn

cos (x) \leq 1 :

Wahr für alle

x \in R

cos (x) \leq 1

Bereich von

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

cos

function is

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \leq 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Angenommen

y = cos (x)

Kombiniere die Bereiche

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y \leq 1

und

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Kombiniere die Bereiche

- \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn and Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn

Beliebte Beispiele

(2sin(x)-1)/(3cos(x))<= 0

\frac{2 sin ( x ) - 1}{3 cos ( x )} \leq 0

sin(2x)-1/2 <0

sin (2 x) - \frac{1}{2} < 0

cos^2(x)> 1/4 ,0<= x<= 2pi

cos^{2} (x) > \frac{1}{4}, 0 \leq x \leq 2 π

sin((x*pi}{(\frac{1+sqrt(5))/2)^2})>0

sin \frac{x \cdot π}{( \frac{1 + 5}{2} ) ^{2}} > 0

2sin(x)-sqrt(3)<= 0

2 sin (x) - 3 \leq 0