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Popolare Trigonometria >

tan(x)*(2tan(x))/(1-tan^2(x))>1

Soluzione

tan (x) \cdot \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} > 1

Soluzione

\frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{4} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x < \frac{5 π}{6} + πn

Notazione dell’intervallo

(\frac{π}{6} + πn, \frac{π}{4} + πn) \cup (\frac{3 π}{4} + πn, \frac{5 π}{6} + πn)

Decimale

0.52359 \dots + πn < x < 0.78539 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn < x < 2.61799 \dots + πn

Fasi della soluzione

tan (x) \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} > 1

Sia:

u = tan (x)

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} > 1

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} > 1 : - 1 < u < - \frac{3}{3} or \frac{3}{3} < u < 1

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} > 1

Riscrivere in forma standard

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} > 1

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} - 1 > 1 - 1

Semplificare

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} - 1 > 1 - 1

Semplifica

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} - 1 : \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} - 1

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} - 1

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} = \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}}

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 uu}{1 - u ^{2}}

2 uu = 2 u^{2}

2 uu

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 2 u^{1 + 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 2 u^{2}

= \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}}

= \frac{2 u ^{2}}{- u ^{2} + 1} - 1

\frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} - 1 > 0

Semplifica

\frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} - 1 : \frac{3 u ^{2} - 1}{1 - u ^{2}}

\frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} - 1

Converti l'elemento in frazione:

1 = \frac{1 ( 1 - u ^{2} )}{1 - u ^{2}}

= \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} - \frac{1 \cdot ( 1 - u ^{2} )}{1 - u ^{2}}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 u ^{2} - 1 \cdot ( 1 - u ^{2} )}{1 - u ^{2}}

Moltiplicare:

1 \cdot (1 - u^{2}) = (1 - u^{2})

= \frac{2 u ^{2} - ( - u ^{2} + 1 )}{1 - u ^{2}}

Espandi

2 u^{2} - (1 - u^{2}) : 3 u^{2} - 1

2 u^{2} - (1 - u^{2})

- (1 - u^{2}) : - 1 + u^{2}

- (1 - u^{2})

Distribuire le parentesi

= - (1) - (- u^{2})

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + u^{2}

= 2 u^{2} - 1 + u^{2}

Semplifica

2 u^{2} - 1 + u^{2} : 3 u^{2} - 1

2 u^{2} - 1 + u^{2}

Raggruppa termini simili

= 2 u^{2} + u^{2} - 1

Aggiungi elementi simili:

2 u^{2} + u^{2} = 3 u^{2}

= 3 u^{2} - 1

= 3 u^{2} - 1

= \frac{3 u ^{2} - 1}{1 - u ^{2}}

\frac{3 u ^{2} - 1}{1 - u ^{2}} > 0

\frac{3 u ^{2} - 1}{1 - u ^{2}} > 0

Fattorizza

\frac{3 u ^{2} - 1}{1 - u ^{2}} : \frac{( 3 u + 1 ) ( 3 u - 1 )}{- ( u + 1 ) ( u - 1 )}

\frac{3 u ^{2} - 1}{1 - u ^{2}}

Fattorizza

- u^{2} + 1 : - (u + 1) (u - 1)

- u^{2} + 1

Fattorizzare dal termine comune

- 1

= - (u^{2} - 1)

Fattorizza

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Riscrivi

1

come

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= - (u + 1) (u - 1)

= \frac{3 u ^{2} - 1}{- ( u + 1 ) ( u - 1 )}

Fattorizza

3 u^{2} - 1 : (3 u + 1) (3 u - 1)

3 u^{2} - 1

Riscrivi

3 u^{2} - 1

come

(3 u)^{2} - 1^{2}

3 u^{2} - 1

Applicare la regola della radice:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= (3)^{2} u^{2} - 1

Riscrivi

1

come

1^{2}

= (3)^{2} u^{2} - 1^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(3)^{2} u^{2} = (3 u)^{2}

= (3 u)^{2} - 1^{2}

= (3 u)^{2} - 1^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(3 u)^{2} - 1^{2} = (3 u + 1) (3 u - 1)

= (3 u + 1) (3 u - 1)

= \frac{( 3 u + 1 ) ( 3 u - 1 )}{- ( u + 1 ) ( u - 1 )}

\frac{( 3 u + 1 ) ( 3 u - 1 )}{- ( u + 1 ) ( u - 1 )} > 0

Moltiplicare entrambi i lati per

- 1

(invertire l'ineguaglianza)

\frac{( 3 u + 1 ) ( 3 u - 1 ) ( - 1 )}{- ( u + 1 ) ( u - 1 )} < 0 \cdot (- 1)

Semplificare

\frac{( 3 u + 1 ) ( 3 u - 1 )}{( u + 1 ) ( u - 1 )} < 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

\frac{( 3 u + 1 ) ( 3 u - 1 )}{( u + 1 ) ( u - 1 )}

Trova i segni di

3 u + 1

3 u + 1 = 0 : u = - \frac{3}{3}

3 u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

3 u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

3 u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

3 u = - 1

3 u = - 1

Dividere entrambi i lati per

3

3 u = - 1

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Cancella il fattore comune:

3

= u

Semplificare

\frac{- 1}{3} : - \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{3}

Razionalizzare

- \frac{1}{3} : - \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{3}{3}

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Applicare la regola della radice:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

3 u + 1 < 0 : u < - \frac{3}{3}

3 u + 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

3 u + 1 < 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

3 u + 1 - 1 < 0 - 1

Semplificare

3 u < - 1

3 u < - 1

Dividere entrambi i lati per

3

3 u < - 1

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 u}{3} < \frac{- 1}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} < \frac{- 1}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Cancella il fattore comune:

3

= u

Semplificare

\frac{- 1}{3} : - \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{3}

Razionalizzare

- \frac{1}{3} : - \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{3}{3}

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Applicare la regola della radice:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

u < - \frac{3}{3}

u < - \frac{3}{3}

u < - \frac{3}{3}

3 u + 1 > 0 : u > - \frac{3}{3}

3 u + 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

3 u + 1 > 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

3 u + 1 - 1 > 0 - 1

Semplificare

3 u > - 1

3 u > - 1

Dividere entrambi i lati per

3

3 u > - 1

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 u}{3} > \frac{- 1}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} > \frac{- 1}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Cancella il fattore comune:

3

= u

Semplificare

\frac{- 1}{3} : - \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{3}

Razionalizzare

- \frac{1}{3} : - \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{3}{3}

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Applicare la regola della radice:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

u > - \frac{3}{3}

u > - \frac{3}{3}

u > - \frac{3}{3}

Trova i segni di

3 u - 1

3 u - 1 = 0 : u = \frac{3}{3}

3 u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

3 u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

3 u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

3 u = 1

3 u = 1

Dividere entrambi i lati per

3

3 u = 1

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Cancella il fattore comune:

3

= u

Semplificare

\frac{1}{3} : \frac{3}{3}

\frac{1}{3}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Applicare la regola della radice:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

3 u - 1 < 0 : u < \frac{3}{3}

3 u - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

3 u - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

3 u - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

3 u < 1

3 u < 1

Dividere entrambi i lati per

3

3 u < 1

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 u}{3} < \frac{1}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} < \frac{1}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Cancella il fattore comune:

3

= u

Semplificare

\frac{1}{3} : \frac{3}{3}

\frac{1}{3}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Applicare la regola della radice:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{3}{3}

u < \frac{3}{3}

u < \frac{3}{3}

u < \frac{3}{3}

3 u - 1 > 0 : u > \frac{3}{3}

3 u - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

3 u - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

3 u - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

3 u > 1

3 u > 1

Dividere entrambi i lati per

3

3 u > 1

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 u}{3} > \frac{1}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} > \frac{1}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Cancella il fattore comune:

3

= u

Semplificare

\frac{1}{3} : \frac{3}{3}

\frac{1}{3}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Applicare la regola della radice:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{3}{3}

u > \frac{3}{3}

u > \frac{3}{3}

u > \frac{3}{3}

Trova i segni di

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u + 1 < 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u + 1 - 1 < 0 - 1

Semplificare

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u + 1 > 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u + 1 - 1 > 0 - 1

Semplificare

u > - 1

u > - 1

Trova i segni di

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

u > 1

u > 1

Trova i punti singolari

Trovare gli zeri del denominatore

(u + 1) (u - 1) : u = - 1, u = 1

(u + 1) (u - 1) = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

u + 1 = 0 or u - 1 = 0

Risolvi

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

u = - 1

u = - 1

Risolvi

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

u = 1

u = 1

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = - 1, u = 1

Riassumere in una tabella:

3 u + 1 3 u - 1 u + 1 u - 1 \frac{( 3 u + 1 ) ( 3 u - 1 )}{( u + 1 ) ( u - 1 )} u < - 1 - - - - + u = - 1 - - 0 - “ N o n d e f ini t o “ - 1 < u < - \frac{3}{3} - - + - - u = - \frac{3}{3} 0 - + - 0 - \frac{3}{3} < u < \frac{3}{3} + - + - + u = \frac{3}{3} + 0 + - 0 \frac{3}{3} < u < 1 + + + - - u = 1 + + + 0 “ N o n d e f ini t o “ u > 1 + + + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

< 0

- 1 < u < - \frac{3}{3} or \frac{3}{3} < u < 1

- 1 < u < - \frac{3}{3} or \frac{3}{3} < u < 1

- 1 < u < - \frac{3}{3} or \frac{3}{3} < u < 1

Sostituire indietro

u = tan (x)

- 1 < tan (x) < - \frac{3}{3} or \frac{3}{3} < tan (x) < 1

- 1 < tan (x) < - \frac{3}{3} : \frac{3 π}{4} + πn < x < \frac{5 π}{6} + πn

- 1 < tan (x) < - \frac{3}{3}

a < u < b

allora

a < u and u < b

- 1 < tan (x) and tan (x) < - \frac{3}{3}

- 1 < tan (x) : - \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

- 1 < tan (x)

Scambia i lati

tan (x) > - 1

tan (x) > a

allora

arctan (a) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

arctan (- 1) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

Semplificare

arctan (- 1) : - \frac{π}{4}

arctan (- 1)

Usare la proprietà seguente:

arctan (- x) = - arctan (x)

arctan (- 1) = - arctan (1)

= - arctan (1)

Usare la seguente identità triviale:

arctan (1) = \frac{π}{4}

arctan (1)

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4}

- \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) < - \frac{3}{3} : - \frac{π}{2} + πn < x < - \frac{π}{6} + πn

tan (x) < - \frac{3}{3}

tan (x) < a

allora

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (a) + πn

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (- \frac{3}{3}) + πn

Semplificare

arctan (- \frac{3}{3}) : - \frac{π}{6}

arctan (- \frac{3}{3})

Usare la proprietà seguente:

arctan (- x) = - arctan (x)

arctan (- \frac{3}{3}) = - arctan (\frac{3}{3})

= - arctan (\frac{3}{3})

Usare la seguente identità triviale:

arctan (\frac{3}{3}) = \frac{π}{6}

arctan (\frac{3}{3})

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

- \frac{π}{2} + πn < x < - \frac{π}{6} + πn

Combina gli intervalli

- \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn and - \frac{π}{2} + πn < x < - \frac{π}{6} + πn

Unire gli intervalli sovrapposti

\frac{3 π}{4} + πn < x < \frac{5 π}{6} + πn

\frac{3}{3} < tan (x) < 1 : \frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

\frac{3}{3} < tan (x) < 1

a < u < b

allora

a < u and u < b

\frac{3}{3} < tan (x) and tan (x) < 1

\frac{3}{3} < tan (x) : \frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

\frac{3}{3} < tan (x)

Scambia i lati

tan (x) > \frac{3}{3}

tan (x) > a

allora

arctan (a) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

arctan (\frac{3}{3}) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

Semplificare

arctan (\frac{3}{3}) : \frac{π}{6}

arctan (\frac{3}{3})

Usare la seguente identità triviale:

arctan (\frac{3}{3}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

\frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) < 1 : - \frac{π}{2} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

tan (x) < 1

tan (x) < a

allora

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (a) + πn

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (1) + πn

Semplificare

arctan (1) : \frac{π}{4}

arctan (1)

Usare la seguente identità triviale:

arctan (1) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

- \frac{π}{2} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

Combina gli intervalli

\frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{2} + πn and - \frac{π}{2} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

Unire gli intervalli sovrapposti

\frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

Combina gli intervalli

\frac{3 π}{4} + πn < x < \frac{5 π}{6} + πn or \frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

Unire gli intervalli sovrapposti

\frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{4} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x < \frac{5 π}{6} + πn

Esempi popolari

cos^2(x)-2cos(x)+1<= 0