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Populaire Trigonométrie >

tan(θ)>3cot(θ)

Solution

tan (θ) > 3 cot (θ)

Solution

\frac{π}{3} + πn < θ < \frac{π}{2} + πn or \frac{2 π}{3} + πn < θ < π + πn

La notation des intervalles

(\frac{π}{3} + πn, \frac{π}{2} + πn) \cup (\frac{2 π}{3} + πn, π + πn)

Décimale

1.04719 \dots + πn < θ < 1.57079 \dots + πn or 2.09439 \dots + πn < θ < 3.14159 \dots + πn

étapes des solutions

tan (θ) > 3 cot (θ)

Déplacer

3 cot (θ)

vers la gauche

tan (θ) > 3 cot (θ)

Soustraire

3 cot (θ)

des deux côtés

tan (θ) - 3 cot (θ) > 3 cot (θ) - 3 cot (θ)

tan (θ) - 3 cot (θ) > 0

tan (θ) - 3 cot (θ) > 0

Périodicité de

tan (θ) - 3 cot (θ) : π

La périodicité composée de la somme des fonctions périodiques est le plus petit commun multiple des périodes

tan (θ), 3 cot (θ)

Périodicité de

tan (θ) : π

La périodicité de

tan (x)

est

π

= π

Périodicité de

3 cot (θ) : π

Périodicité de

a \cdot cot (b x + c) + d = \frac{p e ˊ riodicit e ˊ de cot ( x )}{∣ b ∣}

La périodicité de

cot (x)

est

π

= \frac{π}{∣ 1 ∣}

Simplifier

= π

Combiner des périodes :

π, π

= π

Exprimer avec sinus, cosinus

tan (θ) - 3 cot (θ) > 0

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 3 cot (θ) > 0

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 3 \cdot \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} > 0

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 3 \cdot \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} > 0

Simplifier

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 3 \cdot \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} : \frac{sin ^{2} ( θ ) - 3 cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 3 \cdot \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

Multiplier

3 \cdot \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} : \frac{3 cos ( θ )}{sin ( θ )}

3 \cdot \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( θ ) \cdot 3}{sin ( θ )}

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{3 cos ( θ )}{sin ( θ )}

Plus petit commun multiple de

cos (θ), sin (θ) : cos (θ) sin (θ)

cos (θ), sin (θ)

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

cos (θ)

ou dans

sin (θ)

= cos (θ) sin (θ)

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

cos (θ) sin (θ)

Pour

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

sin (θ)

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Pour

\frac{cos ( θ ) \cdot 3}{sin ( θ )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

cos (θ)

\frac{cos ( θ ) \cdot 3}{sin ( θ )} = \frac{cos ( θ ) \cdot 3 cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} = \frac{3 cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} - \frac{3 cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( θ ) - 3 cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

\frac{sin ^{2} ( θ ) - 3 cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} > 0

Trouver les points zéros et les points non définis de

\frac{sin ^{2} ( θ ) - 3 cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

pour

0 \leq θ < π

Pour trouver les points zéros, définir l'inégalité à zéro

\frac{sin ^{2} ( θ ) - 3 cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = 0

\frac{sin ^{2} ( θ ) - 3 cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = 0, 0 \leq θ < π : θ = \frac{2 π}{3}, θ = \frac{π}{3}

\frac{sin ^{2} ( θ ) - 3 cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = 0, 0 \leq θ < π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin^{2} (θ) - 3 cos^{2} (θ) = 0

Factoriser

sin^{2} (θ) - 3 cos^{2} (θ) : (sin (θ) + 3 cos (θ)) (sin (θ) - 3 cos (θ))

sin^{2} (θ) - 3 cos^{2} (θ)

Récrire

sin^{2} (θ) - 3 cos^{2} (θ)

comme

sin^{2} (θ) - (3 cos (θ))^{2}

sin^{2} (θ) - 3 cos^{2} (θ)

Appliquer la règle des radicaux:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= sin^{2} (θ) - (3)^{2} cos^{2} (θ)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(3)^{2} cos^{2} (θ) = (3 cos (θ))^{2}

= sin^{2} (θ) - (3 cos (θ))^{2}

= sin^{2} (θ) - (3 cos (θ))^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (θ) - (3 cos (θ))^{2} = (sin (θ) + 3 cos (θ)) (sin (θ) - 3 cos (θ))

= (sin (θ) + 3 cos (θ)) (sin (θ) - 3 cos (θ))

(sin (θ) + 3 cos (θ)) (sin (θ) - 3 cos (θ)) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

sin (θ) + 3 cos (θ) = 0 or sin (θ) - 3 cos (θ) = 0

sin (θ) + 3 cos (θ) = 0, 0 \leq θ < π : θ = \frac{2 π}{3}

sin (θ) + 3 cos (θ) = 0, 0 \leq θ < π

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

sin (θ) + 3 cos (θ) = 0

Diviser les deux côtés par

cos (θ), cos (θ) \neq = 0

\frac{sin ( θ ) + 3 cos ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{0}{cos ( θ )}

Simplifier

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} + 3 = 0

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (θ) + 3 = 0

tan (θ) + 3 = 0

Déplacer

3

vers la droite

tan (θ) + 3 = 0

Soustraire

3

des deux côtés

tan (θ) + 3 - 3 = 0 - 3

Simplifier

tan (θ) = - 3

tan (θ) = - 3

Solutions générales pour

tan (θ) = - 3

Tableau de périodicité

tan (x)

avec un cycle

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

θ = \frac{2 π}{3} + πn

θ = \frac{2 π}{3} + πn

Solutions pour la plage

0 \leq θ < π

θ = \frac{2 π}{3}

sin (θ) - 3 cos (θ) = 0, 0 \leq θ < π : θ = \frac{π}{3}

sin (θ) - 3 cos (θ) = 0, 0 \leq θ < π

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

sin (θ) - 3 cos (θ) = 0

Diviser les deux côtés par

cos (θ), cos (θ) \neq = 0

\frac{sin ( θ ) - 3 cos ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{0}{cos ( θ )}

Simplifier

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 3 = 0

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (θ) - 3 = 0

tan (θ) - 3 = 0

Déplacer

3

vers la droite

tan (θ) - 3 = 0

Ajouter

3

aux deux côtés

tan (θ) - 3 + 3 = 0 + 3

Simplifier

tan (θ) = 3

tan (θ) = 3

Solutions générales pour

tan (θ) = 3

Tableau de périodicité

tan (x)

avec un cycle

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

θ = \frac{π}{3} + πn

θ = \frac{π}{3} + πn

Solutions pour la plage

0 \leq θ < π

θ = \frac{π}{3}

Combiner toutes les solutions

θ = \frac{2 π}{3}, θ = \frac{π}{3}

Trouver les points non définis:

θ = \frac{π}{2}, θ = 0

Trouver les zéros du dénominateur

cos (θ) sin (θ) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

cos (θ) = 0 or sin (θ) = 0

cos (θ) = 0, 0 \leq θ < π : θ = \frac{π}{2}

cos (θ) = 0, 0 \leq θ < π

Solutions générales pour

cos (θ) = 0

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq θ < π

θ = \frac{π}{2}

sin (θ) = 0, 0 \leq θ < π : θ = 0

sin (θ) = 0, 0 \leq θ < π

Solutions générales pour

sin (θ) = 0

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Résoudre

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq θ < π

θ = 0

Combiner toutes les solutions

θ = \frac{π}{2}, θ = 0

0, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}

Identifier les intervalles

0 < θ < \frac{π}{3}, \frac{π}{3} < θ < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < θ < \frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} < θ < π

Récapituler dans un tableau:

sin^{2} (θ) - 3 cos^{2} (θ) cos (θ) sin (θ) \frac{s i n ^{2} ( θ ) - 3 c o s ^{2} ( θ )}{c o s ( θ ) s i n ( θ )} θ = 0 - + 0 Ind \overset{e}{ˊ} fini 0 < θ < \frac{π}{3} - + + - θ = \frac{π}{3} 0 + + 0 \frac{π}{3} < θ < \frac{π}{2} + + + + θ = \frac{π}{2} + 0 + Ind \overset{e}{ˊ} fini \frac{π}{2} < θ < \frac{2 π}{3} + - + - θ = \frac{2 π}{3} 0 - + 0 \frac{2 π}{3} < θ < π - - + + θ = π - - 0 Ind \overset{e}{ˊ} fini

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

> 0

\frac{π}{3} < θ < \frac{π}{2} or \frac{2 π}{3} < θ < π

Appliquer la périodicité de

tan (θ) - 3 cot (θ)

\frac{π}{3} + πn < θ < \frac{π}{2} + πn or \frac{2 π}{3} + πn < θ < π + πn

Exemples populaires

4tan(x)>4,(-pi/2 , pi/2)

4 tan (x) > 4, (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

solvefor x,sin(x+30)=tan(10)0<x<360

so l v e f or x, sin (x + 3 0^{\circ}) = tan (1 0^{\circ}) 0 < x < 360

cos(x)>sin^2(x)-cos^2(x)

cos (x) > sin^{2} (x) - cos^{2} (x)

cos(y)<0

cos (y) < 0

cos(x)-1>= 2

cos (x) - 1 \geq 2