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Populaire Trigonométrie >

5-8cos(x)+4cos(2x)<0

Solution

5 - 8 cos (x) + 4 cos (2 x) < 0

Solution

arccos (\frac{2 + 2}{4}) + 2 πn < x < arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn or - arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 π + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{2 + 2}{4}) + 2 πn

La notation des intervalles

(arccos (\frac{2 + 2}{4}) + 2 πn, arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn) \cup (- arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 π + 2 πn, 2 π - arccos (\frac{2 + 2}{4}) + 2 πn)

Décimale

0.54802 \dots + 2 πn < x < 1.42382 \dots + 2 πn or 4.85936 \dots + 2 πn < x < 5.73515 \dots + 2 πn

étapes des solutions

5 - 8 cos (x) + 4 cos (2 x) < 0

Utiliser les identités suivantes:

cos (2 x) = - 1 + 2 cos^{2} (x)

5 + 4 (- 1 + 2 cos^{2} (x)) - 8 cos (x) < 0

Simplifier

5 + 4 (- 1 + 2 cos^{2} (x)) - 8 cos (x) : 8 cos^{2} (x) - 8 cos (x) + 1

5 + 4 (- 1 + 2 cos^{2} (x)) - 8 cos (x)

Développer

4 (- 1 + 2 cos^{2} (x)) : - 4 + 8 cos^{2} (x)

4 (- 1 + 2 cos^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b + c) = ab + a c

a = 4, b = - 1, c = 2 cos^{2} (x)

= 4 (- 1) + 4 \cdot 2 cos^{2} (x)

Appliquer les règles des moins et des plus

+ (- a) = - a

= - 4 \cdot 1 + 4 \cdot 2 cos^{2} (x)

Simplifier

- 4 \cdot 1 + 4 \cdot 2 cos^{2} (x) : - 4 + 8 cos^{2} (x)

- 4 \cdot 1 + 4 \cdot 2 cos^{2} (x)

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 = 4

= - 4 + 4 \cdot 2 cos^{2} (x)

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 = 8

= - 4 + 8 cos^{2} (x)

= - 4 + 8 cos^{2} (x)

= 5 - 4 + 8 cos^{2} (x) - 8 cos (x)

Soustraire les nombres :

5 - 4 = 1

= 8 cos^{2} (x) - 8 cos (x) + 1

8 cos^{2} (x) - 8 cos (x) + 1 < 0

Soit :

u = cos (x)

8 u^{2} - 8 u + 1 < 0

8 u^{2} - 8 u + 1 < 0 : - \frac{2}{4} + \frac{1}{2} < u < \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

8 u^{2} - 8 u + 1 < 0

Compléter la carré

8 u^{2} - 8 u + 1 : 8 (u - \frac{1}{2})^{2} - 1

8 u^{2} - 8 u + 1

Ecrire

8 u^{2} - 8 u + 1

sous la forme :

x^{2} + 2 a x + a^{2}

Factoriser

8

8 (u^{2} - u + \frac{1}{8})

2 a = - 1 : a = - \frac{1}{2}

2 a = - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 a = - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 a}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplifier

a = - \frac{1}{2}

a = - \frac{1}{2}

Additionner et soustraire

(- \frac{1}{2})^{2}

8 (u^{2} - u + \frac{1}{8} + (- \frac{1}{2})^{2} - (- \frac{1}{2})^{2})

x^{2} + 2 a x + a^{2} = (x + a)^{2}

u^{2} - 1 u + (- \frac{1}{2})^{2} = (u - \frac{1}{2})^{2}

8 ((u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{8} - (- \frac{1}{2})^{2})

Simplifier

8 (u - \frac{1}{2})^{2} - 1

8 (u - \frac{1}{2})^{2} - 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

8 (u - \frac{1}{2})^{2} - 1 < 0

Ajouter

1

aux deux côtés

8 (u - \frac{1}{2})^{2} - 1 + 1 < 0 + 1

Simplifier

8 (u - \frac{1}{2})^{2} < 1

8 (u - \frac{1}{2})^{2} < 1

Diviser les deux côtés par

8

8 (u - \frac{1}{2})^{2} < 1

Diviser les deux côtés par

8

\frac{8 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{8} < \frac{1}{8}

Simplifier

(u - \frac{1}{2})^{2} < \frac{1}{8}

(u - \frac{1}{2})^{2} < \frac{1}{8}

Pour

u^{n} < a

, si

n

est pair alors

- \frac{1}{8} < u - \frac{1}{2} < \frac{1}{8}

a < u < b

alors

a < u and u < b

- \frac{1}{8} < u - \frac{1}{2} and u - \frac{1}{2} < \frac{1}{8}

- \frac{1}{8} < u - \frac{1}{2} : u > - \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

- \frac{1}{8} < u - \frac{1}{2}

Transposer les termes des côtés

u - \frac{1}{2} > - \frac{1}{8}

Simplifier

- \frac{1}{8} : - \frac{1}{2 2}

- \frac{1}{8}

Simplifier

\frac{1}{8} : \frac{1}{2 2}

\frac{1}{8}

Appliquer la règle des radicaux :

en supposant

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{8}

8 = 22

8

Factorisation première de

8 : 2^{3}

8

8

divisée par

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Appliquer la règle des radicaux:

= 2 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

2^{2} = 2

= 22

= \frac{1}{2 2}

= - \frac{1}{2 2}

Appliquer la règle

1 = 1

= - \frac{1}{2 2}

u - \frac{1}{2} > - \frac{1}{2 2}

Déplacer

\frac{1}{2}

vers la droite

u - \frac{1}{2} > - \frac{1}{2 2}

Ajouter

\frac{1}{2}

aux deux côtés

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > - \frac{1}{2 2} + \frac{1}{2}

Simplifier

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > - \frac{1}{2 2} + \frac{1}{2}

Simplifier

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} : u

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

Additionner les éléments similaires :

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > 0

= u

Simplifier

- \frac{1}{2 2} + \frac{1}{2} : - \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

- \frac{1}{2 2} + \frac{1}{2}

\frac{1}{2 2} = \frac{2}{4}

\frac{1}{2 2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2 2}

1 \cdot 2 = 2

222 = 4

222

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Additionner les éléments similaires :

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= 2^{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 2^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= \frac{2}{4}

= - \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

u > - \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

u > - \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

u > - \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

u - \frac{1}{2} < \frac{1}{8} : u < \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

u - \frac{1}{2} < \frac{1}{8}

Simplifier

\frac{1}{8} : \frac{1}{2 2}

\frac{1}{8}

Appliquer la règle des radicaux :

en supposant

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{8}

8 = 22

8

Factorisation première de

8 : 2^{3}

8

8

divisée par

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Appliquer la règle des radicaux:

= 2 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

2^{2} = 2

= 22

= \frac{1}{2 2}

Appliquer la règle

1 = 1

= \frac{1}{2 2}

u - \frac{1}{2} < \frac{1}{2 2}

Déplacer

\frac{1}{2}

vers la droite

u - \frac{1}{2} < \frac{1}{2 2}

Ajouter

\frac{1}{2}

aux deux côtés

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < \frac{1}{2 2} + \frac{1}{2}

Simplifier

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < \frac{1}{2 2} + \frac{1}{2}

Simplifier

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} : u

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

Additionner les éléments similaires :

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < 0

= u

Simplifier

\frac{1}{2 2} + \frac{1}{2} : \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

\frac{1}{2 2} + \frac{1}{2}

\frac{1}{2 2} = \frac{2}{4}

\frac{1}{2 2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2 2}

1 \cdot 2 = 2

222 = 4

222

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Additionner les éléments similaires :

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= 2^{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 2^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= \frac{2}{4}

= \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

u < \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

u < \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

u < \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

Réunir les intervalles

u > - \frac{2}{4} + \frac{1}{2} and u < \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

u > - \frac{2}{4} + \frac{1}{2} and u < \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

u > - \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

u < \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

- \frac{2}{4} + \frac{1}{2} < u < \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

- \frac{2}{4} + \frac{1}{2} < u < \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

- \frac{2}{4} + \frac{1}{2} < u < \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

Remplacer

u = cos (x)

- \frac{2}{4} + \frac{1}{2} < cos (x) < \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

a < u < b

alors

a < u and u < b

- \frac{2}{4} + \frac{1}{2} < cos (x) and cos (x) < \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

- \frac{2}{4} + \frac{1}{2} < cos (x) : - arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn < x < arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn

- \frac{2}{4} + \frac{1}{2} < cos (x)

Transposer les termes des côtés

cos (x) > - \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

Pour

cos (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

alors

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (- \frac{2}{4} + \frac{1}{2}) + 2 πn < x < arccos (- \frac{2}{4} + \frac{1}{2}) + 2 πn

Simplifier

- arccos (- \frac{2}{4} + \frac{1}{2}) : - arccos (\frac{- 2 + 2}{4})

- arccos (- \frac{2}{4} + \frac{1}{2})

Relier

- \frac{2}{4} + \frac{1}{2} : \frac{- 1 + 2}{2 2}

- \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

Plus petit commun multiple de

4, 2 : 4

4, 2

Plus petit commun multiple (PPCM)

Factorisation première de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Factorisation première de

2 : 2

2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 2

Multiplier chaque facteur qui apparait le plus grand nombre de fois dans

4

2

= 2 \cdot 2

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= 4

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

4

Pour

\frac{1}{2} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

2

\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}

= - \frac{2}{4} + \frac{2}{4}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 2 + 2}{4}

Factoriser

- 2 + 2 : 2 (- 1 + 2)

- 2 + 2

2 = 22

= - 2 + 22

Factoriser le terme commun

2

= 2 (- 1 + 2)

= \frac{2 ( - 1 + 2 )}{4}

Factoriser

4 : 2^{2}

Factoriser

4 = 2^{2}

= \frac{2 ( 2 - 1 )}{2 ^{2}}

Annuler

\frac{2 ( - 1 + 2 )}{2 ^{2}} : \frac{- 1 + 2}{2 ^{\frac{3}{2}}}

\frac{2 ( - 1 + 2 )}{2 ^{2}}

Appliquer la règle des radicaux:

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{1}{2}} ( 2 - 1 )}{2 ^{2}}

Appliquer la règle de l'exposant:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{2 ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{2}} = \frac{1}{2 ^{2 - \frac{1}{2}}}

= \frac{- 1 + 2}{2 ^{2 - \frac{1}{2}}}

Soustraire les nombres :

2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

= \frac{- 1 + 2}{2 ^{\frac{3}{2}}}

= \frac{- 1 + 2}{2 ^{\frac{3}{2}}}

2^{\frac{3}{2}} = 22

2^{\frac{3}{2}}

2^{\frac{3}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2}}

Appliquer la règle de l'exposant:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}

Redéfinir

= 22

= \frac{- 1 + 2}{2 2}

= - arccos (\frac{2 - 1}{2 2})

= - arccos (\frac{2 - 2}{4})

Simplifier

arccos (- \frac{2}{4} + \frac{1}{2}) : arccos (\frac{- 2 + 2}{4})

arccos (- \frac{2}{4} + \frac{1}{2})

Relier

- \frac{2}{4} + \frac{1}{2} : \frac{- 1 + 2}{2 2}

- \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

Plus petit commun multiple de

4, 2 : 4

4, 2

Plus petit commun multiple (PPCM)

Factorisation première de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Factorisation première de

2 : 2

2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 2

Multiplier chaque facteur qui apparait le plus grand nombre de fois dans

4

2

= 2 \cdot 2

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= 4

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

4

Pour

\frac{1}{2} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

2

\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}

= - \frac{2}{4} + \frac{2}{4}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 2 + 2}{4}

Factoriser

- 2 + 2 : 2 (- 1 + 2)

- 2 + 2

2 = 22

= - 2 + 22

Factoriser le terme commun

2

= 2 (- 1 + 2)

= \frac{2 ( - 1 + 2 )}{4}

Factoriser

4 : 2^{2}

Factoriser

4 = 2^{2}

= \frac{2 ( 2 - 1 )}{2 ^{2}}

Annuler

\frac{2 ( - 1 + 2 )}{2 ^{2}} : \frac{- 1 + 2}{2 ^{\frac{3}{2}}}

\frac{2 ( - 1 + 2 )}{2 ^{2}}

Appliquer la règle des radicaux:

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{1}{2}} ( 2 - 1 )}{2 ^{2}}

Appliquer la règle de l'exposant:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{2 ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{2}} = \frac{1}{2 ^{2 - \frac{1}{2}}}

= \frac{- 1 + 2}{2 ^{2 - \frac{1}{2}}}

Soustraire les nombres :

2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

= \frac{- 1 + 2}{2 ^{\frac{3}{2}}}

= \frac{- 1 + 2}{2 ^{\frac{3}{2}}}

2^{\frac{3}{2}} = 22

2^{\frac{3}{2}}

2^{\frac{3}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2}}

Appliquer la règle de l'exposant:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}

Redéfinir

= 22

= \frac{- 1 + 2}{2 2}

= arccos (\frac{- 1 + 2}{2 2})

= arccos (\frac{- 2 + 2}{4})

- arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn < x < arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn

cos (x) < \frac{2}{4} + \frac{1}{2} : arccos (\frac{2 + 2}{4}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{2 + 2}{4}) + 2 πn

cos (x) < \frac{2}{4} + \frac{1}{2}

Pour

cos (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

alors

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{2}{4} + \frac{1}{2}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{2}{4} + \frac{1}{2}) + 2 πn

Simplifier

arccos (\frac{2}{4} + \frac{1}{2}) : arccos (\frac{2 + 2}{4})

arccos (\frac{2}{4} + \frac{1}{2})

Relier

\frac{2}{4} + \frac{1}{2} : \frac{1 + 2}{2 2}

\frac{2}{4} + \frac{1}{2}

Plus petit commun multiple de

4, 2 : 4

4, 2

Plus petit commun multiple (PPCM)

Factorisation première de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Factorisation première de

2 : 2

2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 2

Multiplier chaque facteur qui apparait le plus grand nombre de fois dans

4

2

= 2 \cdot 2

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= 4

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

4

Pour

\frac{1}{2} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

2

\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}

= \frac{2}{4} + \frac{2}{4}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 2}{4}

Factoriser

2 + 2 : 2 (1 + 2)

2 + 2

2 = 22

= 2 + 22

Factoriser le terme commun

2

= 2 (1 + 2)

= \frac{2 ( 1 + 2 )}{4}

Factoriser

4 : 2^{2}

Factoriser

4 = 2^{2}

= \frac{2 ( 1 + 2 )}{2 ^{2}}

Annuler

\frac{2 ( 1 + 2 )}{2 ^{2}} : \frac{1 + 2}{2 ^{\frac{3}{2}}}

\frac{2 ( 1 + 2 )}{2 ^{2}}

Appliquer la règle des radicaux:

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{1}{2}} ( 1 + 2 )}{2 ^{2}}

Appliquer la règle de l'exposant:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{2 ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{2}} = \frac{1}{2 ^{2 - \frac{1}{2}}}

= \frac{1 + 2}{2 ^{2 - \frac{1}{2}}}

Soustraire les nombres :

2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

= \frac{1 + 2}{2 ^{\frac{3}{2}}}

= \frac{1 + 2}{2 ^{\frac{3}{2}}}

2^{\frac{3}{2}} = 22

2^{\frac{3}{2}}

2^{\frac{3}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2}}

Appliquer la règle de l'exposant:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}

Redéfinir

= 22

= \frac{1 + 2}{2 2}

= arccos (\frac{1 + 2}{2 2})

= arccos (\frac{2 + 2}{4})

Simplifier

2 π - arccos (\frac{2}{4} + \frac{1}{2}) : 2 π - arccos (\frac{2 + 2}{4})

2 π - arccos (\frac{2}{4} + \frac{1}{2})

Relier

\frac{2}{4} + \frac{1}{2} : \frac{2 + 2}{4}

\frac{2}{4} + \frac{1}{2}

Plus petit commun multiple de

4, 2 : 4

4, 2

Plus petit commun multiple (PPCM)

Factorisation première de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Factorisation première de

2 : 2

2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 2

Multiplier chaque facteur qui apparait le plus grand nombre de fois dans

4

2

= 2 \cdot 2

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= 4

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

4

Pour

\frac{1}{2} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

2

\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}

= \frac{2}{4} + \frac{2}{4}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 2}{4}

= 2 π - arccos (\frac{2 + 2}{4})

arccos (\frac{2 + 2}{4}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{2 + 2}{4}) + 2 πn

Réunir les intervalles

- arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn < x < arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn and arccos (\frac{2 + 2}{4}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{2 + 2}{4}) + 2 πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

arccos (\frac{2 + 2}{4}) + 2 πn < x < arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn or - arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 π + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{2 + 2}{4}) + 2 πn

Exemples populaires

sin(a)<0

sin^{(2)}(x)<= ((1))/((2))

cos^2(x)-1/4 <= 0

-sin(θ)+cos(θ)-sqrt(10)<0

cos(x)+sqrt(3)sin(x)>= sqrt(2)