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受欢迎的三角函数 >

cos(x)+sqrt(3)sin(x)>= sqrt(2)

解答

cos (x) + 3 sin (x) \geq 2

解答

\frac{π}{12} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{12} + 2 πn

+2

间隔符号

[\frac{π}{12} + 2 πn, \frac{7 π}{12} + 2 πn]

十进制

0.26179 \dots + 2 πn \leq x \leq 1.83259 \dots + 2 πn

求解步骤

cos (x) + 3 sin (x) \geq 2

使用三角恒等式改写

两边除以

2

\frac{cos ( x ) + 3 sin ( x )}{2} \geq \frac{2}{2}

乘开

\frac{cos ( x ) + 3 sin ( x )}{2} : \frac{1}{2} cos (x) + \frac{3}{2} sin (x)

\frac{cos ( x ) + 3 sin ( x )}{2}

使用分式法则:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{cos ( x ) + 3 sin ( x )}{2} = \frac{cos ( x )}{2} + \frac{3 sin ( x )}{2}

= \frac{cos ( x )}{2} + \frac{3 sin ( x )}{2}

= \frac{1}{2} cos (x) + \frac{3}{2} sin (x)

\frac{1}{2} cos (x) + \frac{3}{2} sin (x) \geq \frac{2}{2}

\frac{3}{2} = cos (\frac{π}{6})

\frac{1}{2} cos (x) + cos (\frac{π}{6}) sin (x) \geq \frac{2}{2}

\frac{1}{2} = sin (\frac{π}{6})

sin (\frac{π}{6}) cos (x) + cos (\frac{π}{6}) sin (x) \geq \frac{2}{2}

利用以下特性:

cos (s) sin (t) + cos (t) sin (s) = sin (s + t)

sin (\frac{π}{6} + x) \geq \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{6} + x) \geq \frac{2}{2}

对于

sin (x) \geq a

，若

- 1 < a < 1

，则

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq (\frac{π}{6} + x) \leq π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

若

a \leq u \leq b

，则

a \leq u and u \leq b

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq \frac{π}{6} + x and \frac{π}{6} + x \leq π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq \frac{π}{6} + x : x \geq 2 πn + \frac{π}{12}

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq \frac{π}{6} + x

交换两边

\frac{π}{6} + x \geq arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

化简

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn : \frac{π}{4} + 2 πn

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

使用以下普通恒等式:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4} + 2 πn

\frac{π}{6} + x \geq \frac{π}{4} + 2 πn

将

\frac{π}{6}

到右边

\frac{π}{6} + x \geq \frac{π}{4} + 2 πn

两边减去

\frac{π}{6}

\frac{π}{6} + x - \frac{π}{6} \geq \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{6}

化简

\frac{π}{6} + x - \frac{π}{6} \geq \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{6}

化简

\frac{π}{6} + x - \frac{π}{6} : x

\frac{π}{6} + x - \frac{π}{6}

同类项相加:

\frac{π}{6} - \frac{π}{6} \geq 0

= x

化简

\frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{6} : 2 πn + \frac{π}{12}

\frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{6}

对同类项分组

= 2 πn + \frac{π}{4} - \frac{π}{6}

4, 6

的最小公倍数:

12

4, 6

最小公倍数 (LCM)

4

质因数分解:

2 \cdot 2

4

4

除以

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

6

质因数分解:

2 \cdot 3

6

6

除以

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

都是质数，因此无法进一步因数分解

= 2 \cdot 3

将每个因子乘以它在

4

或

6

中出现的最多次数

= 2 \cdot 2 \cdot 3

数字相乘:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

12

对于

\frac{π}{4} :

将分母和分子乘以

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

对于

\frac{π}{6} :

将分母和分子乘以

2

\frac{π}{6} = \frac{π 2}{6 \cdot 2} = \frac{π 2}{12}

= \frac{π 3}{12} - \frac{π 2}{12}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 3 - π 2}{12}

同类项相加:

3 π - 2 π = π

= 2 πn + \frac{π}{12}

x \geq 2 πn + \frac{π}{12}

x \geq 2 πn + \frac{π}{12}

x \geq 2 πn + \frac{π}{12}

\frac{π}{6} + x \leq π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn : x \leq \frac{7 π}{12} + 2 πn

\frac{π}{6} + x \leq π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

化简

π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn : π - \frac{π}{4} + 2 πn

π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

使用以下普通恒等式:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{4} + 2 πn

\frac{π}{6} + x \leq π - \frac{π}{4} + 2 πn

将

\frac{π}{6}

到右边

\frac{π}{6} + x \leq π - \frac{π}{4} + 2 πn

两边减去

\frac{π}{6}

\frac{π}{6} + x - \frac{π}{6} \leq π - \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{6}

化简

\frac{π}{6} + x - \frac{π}{6} \leq π - \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{6}

化简

\frac{π}{6} + x - \frac{π}{6} : x

\frac{π}{6} + x - \frac{π}{6}

同类项相加:

\frac{π}{6} - \frac{π}{6} \leq 0

= x

化简

π - \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{6} : π + 2 πn - \frac{5 π}{12}

π - \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{6}

对同类项分组

= π + 2 πn - \frac{π}{4} - \frac{π}{6}

4, 6

的最小公倍数:

12

4, 6

最小公倍数 (LCM)

4

质因数分解:

2 \cdot 2

4

4

除以

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

6

质因数分解:

2 \cdot 3

6

6

除以

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

都是质数，因此无法进一步因数分解

= 2 \cdot 3

将每个因子乘以它在

4

或

6

中出现的最多次数

= 2 \cdot 2 \cdot 3

数字相乘:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

12

对于

\frac{π}{4} :

将分母和分子乘以

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

对于

\frac{π}{6} :

将分母和分子乘以

2

\frac{π}{6} = \frac{π 2}{6 \cdot 2} = \frac{π 2}{12}

= - \frac{π 3}{12} - \frac{π 2}{12}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 - π 2}{12}

同类项相加:

- 3 π - 2 π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{12}

使用分式法则:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= π + 2 πn - \frac{5 π}{12}

x \leq π + 2 πn - \frac{5 π}{12}

x \leq π + 2 πn - \frac{5 π}{12}

x \leq π + 2 πn - \frac{5 π}{12}

化简

π - \frac{5 π}{12} : \frac{7 π}{12}

π - \frac{5 π}{12}

将项转换为分式:

π = \frac{π 12}{12}

= \frac{π 12}{12} - \frac{5 π}{12}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 12 - 5 π}{12}

同类项相加:

12 π - 5 π = 7 π

= \frac{7 π}{12}

x \leq \frac{7 π}{12} + 2 πn

合并区间

x \geq 2 πn + \frac{π}{12} and x \leq \frac{7 π}{12} + 2 πn

合并重叠的区间

\frac{π}{12} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{12} + 2 πn

流行的例子

sin(0.5pix)<0.6

sin (0.5 π x) < 0.6

2 + sin (x) \geq 0

cos^2(θ)-1>= 0

cos^{2} (θ) - 1 \geq 0

sec (t) > 0

sec^2(x)<= tan^2(x)+sec(x)

sec^{2} (x) \leq tan^{2} (x) + sec (x)