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Popolare Trigonometria >

6sin^2(x)-5sin(x)+1<= 0

Soluzione

6 sin^{2} (x) - 5 sin (x) + 1 \leq 0

Soluzione

arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

Notazione dell’intervallo

[arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn, \frac{π}{6} + 2 πn] \cup [\frac{5 π}{6} + 2 πn, π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn]

Decimale

0.33983 \dots + 2 πn \leq x \leq 0.52359 \dots + 2 πn or 2.61799 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.80175 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

6 sin^{2} (x) - 5 sin (x) + 1 \leq 0

Sia:

u = sin (x)

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0 : \frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0

Fattorizza

6 u^{2} - 5 u + 1 : (3 u - 1) (2 u - 1)

6 u^{2} - 5 u + 1

Suddividere l'espressione in gruppi

6 u^{2} - 5 u + 1

Definizione

Fattori di

6 : 1, 2, 3, 6

6

Divisori (Fattori)

Trova i fattori primi di

6 : 2, 3

6

6

diviso per

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 3

Aggiungi i fattori primi:

2, 3

Aggiungi 1 al numero

6

stesso

1, 6

I fattori di

6

1, 2, 3, 6

Fattori negativi di

6 : - 1, - 2, - 3, - 6

Moltiplica i fattori per

- 1

per ottenere i fattori negativi

- 1, - 2, - 3, - 6

Per ogni due fattori tali che

u * v = 6,

controllare se

u + v = - 5

Verifica

u = 1, v = 6 : u * v = 6, u + v = 7 \Rightarrow

FalsoVerifica

u = 2, v = 3 : u * v = 6, u + v = 5 \Rightarrow

Falso

u = - 2, v = - 3

Raggruppa in

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(6 u^{2} - 2 u) + (- 3 u + 1)

= (6 u^{2} - 2 u) + (- 3 u + 1)

Fattorizza

2 u

6 u^{2} - 2 u : 2 u (3 u - 1)

6 u^{2} - 2 u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 6 uu - 2 u

Riscrivi

6

come

2 \cdot 3

= 2 \cdot 3 uu - 2 u

Fattorizzare dal termine comune

2 u

= 2 u (3 u - 1)

Fattorizza

- 1

- 3 u + 1 : - (3 u - 1)

- 3 u + 1

Fattorizzare dal termine comune

- 1

= - (3 u - 1)

= 2 u (3 u - 1) - (3 u - 1)

Fattorizzare dal termine comune

3 u - 1

= (3 u - 1) (2 u - 1)

(3 u - 1) (2 u - 1) \leq 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

(3 u - 1) (2 u - 1)

Trova i segni di

3 u - 1

3 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{3}

3 u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

3 u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

3 u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

3 u = 1

3 u = 1

Dividere entrambi i lati per

3

3 u = 1

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Semplificare

u = \frac{1}{3}

u = \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

3 u - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

3 u - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

3 u < 1

3 u < 1

Dividere entrambi i lati per

3

3 u < 1

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 u}{3} < \frac{1}{3}

Semplificare

u < \frac{1}{3}

u < \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

3 u - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

3 u - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

3 u > 1

3 u > 1

Dividere entrambi i lati per

3

3 u > 1

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 u}{3} > \frac{1}{3}

Semplificare

u > \frac{1}{3}

u > \frac{1}{3}

Trova i segni di

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

2 u = 1

2 u = 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u = 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Semplificare

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

2 u < 1

2 u < 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u < 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Semplificare

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

2 u > 1

2 u > 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u > 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Semplificare

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Riassumere in una tabella:

3 u - 1 2 u - 1 (3 u - 1) (2 u - 1) u < \frac{1}{3} - - + u = \frac{1}{3} 0 - 0 \frac{1}{3} < u < \frac{1}{2} + - - u = \frac{1}{2} + 00 u > \frac{1}{2} + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

\leq 0

u = \frac{1}{3} or \frac{1}{3} < u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

Unire gli intervalli sovrapposti

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u = \frac{1}{3}

\frac{1}{3} < u < \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2}

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

Sostituire indietro

u = sin (x)

\frac{1}{3} \leq sin (x) \leq \frac{1}{2}

a \leq u \leq b

allora

a \leq u and u \leq b

\frac{1}{3} \leq sin (x) and sin (x) \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq sin (x) : arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

\frac{1}{3} \leq sin (x)

Scambia i lati

sin (x) \geq \frac{1}{3}

Per

sin (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

allora

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

sin (x) \leq \frac{1}{2} : - \frac{7 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{1}{2}

Per

sin (x) \leq a

, se

- 1 < a < 1

allora

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

- π - arcsin (\frac{1}{2}) : - \frac{7 π}{6}

- π - arcsin (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{6}

Semplificare

- π - \frac{π}{6}

Converti l'elemento in frazione:

π = \frac{π 6}{6}

= - \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 - π}{6}

Aggiungi elementi simili:

- 6 π - π = - 7 π

= \frac{- 7 π}{6}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{7 π}{6}

= - \frac{7 π}{6}

Semplificare

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

- \frac{7 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

Combina gli intervalli

arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn and - \frac{7 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

Unire gli intervalli sovrapposti

arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

Esempi popolari

2sin(2x)+(1/2)>= 0

2 sin (2 x) + (\frac{1}{2}) \geq 0

2cos(2x)-1>= 0

2 cos (2 x) - 1 \geq 0

-cos(x)>=-sin(2x)

- cos (x) \geq - sin (2 x)

tan(x)>7

tan (x) > 7

cos(x)<-1/2 ,0<= x<= 2pi

cos (x) < - \frac{1}{2}, 0 \leq x \leq 2 π