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Popolare Trigonometria >

cos(x+pi/4)<=-1/2

Soluzione

cos (x + \frac{π}{4}) \leq - \frac{1}{2}

Soluzione

\frac{5 π}{12} + 2 πn \leq x \leq \frac{13 π}{12} + 2 πn

Notazione dell’intervallo

[\frac{5 π}{12} + 2 πn, \frac{13 π}{12} + 2 πn]

Decimale

1.30899 \dots + 2 πn \leq x \leq 3.40339 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

cos (x + \frac{π}{4}) \leq - \frac{1}{2}

Per

cos (x) \leq a

, se

- 1 < a < 1

allora

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq (x + \frac{π}{4}) \leq 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

a \leq u \leq b

allora

a \leq u and u \leq b

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq x + \frac{π}{4} and x + \frac{π}{4} \leq 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq x + \frac{π}{4} : x \geq 2 πn + \frac{5 π}{12}

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq x + \frac{π}{4}

Scambia i lati

x + \frac{π}{4} \geq arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn : \frac{2 π}{3} + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Usare la seguente identità triviale:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3} + 2 πn

x + \frac{π}{4} \geq \frac{2 π}{3} + 2 πn

Spostare

\frac{π}{4}

a destra dell'equazione

x + \frac{π}{4} \geq \frac{2 π}{3} + 2 πn

Sottrarre

\frac{π}{4}

da entrambi i lati

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} \geq \frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{4}

Semplificare

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} \geq \frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{4}

Semplificare

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Aggiungi elementi simili:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} \geq 0

= x

Semplificare

\frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{5 π}{12}

\frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{4}

Raggruppa termini simili

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{2 π}{3}

Minimo Comune Multiplo di

4, 3 : 12

4, 3

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

4 : 2 \cdot 2

4

4

diviso per

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Fattorizzazione prima di

3 : 3

3

3

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 3

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 4 o 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

12

Per

\frac{π}{4} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

Per

\frac{2 π}{3} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

4

\frac{2 π}{3} = \frac{2 π 4}{3 \cdot 4} = \frac{8 π}{12}

= - \frac{π 3}{12} + \frac{8 π}{12}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 + 8 π}{12}

Aggiungi elementi simili:

- 3 π + 8 π = 5 π

= 2 πn + \frac{5 π}{12}

x \geq 2 πn + \frac{5 π}{12}

x \geq 2 πn + \frac{5 π}{12}

x \geq 2 πn + \frac{5 π}{12}

x + \frac{π}{4} \leq 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn : x \leq \frac{13 π}{12} + 2 πn

x + \frac{π}{4} \leq 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn : 2 π - \frac{2 π}{3} + 2 πn

2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Usare la seguente identità triviale:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{2 π}{3} + 2 πn

x + \frac{π}{4} \leq 2 π - \frac{2 π}{3} + 2 πn

Spostare

\frac{π}{4}

a destra dell'equazione

x + \frac{π}{4} \leq 2 π - \frac{2 π}{3} + 2 πn

Sottrarre

\frac{π}{4}

da entrambi i lati

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} \leq 2 π - \frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{4}

Semplificare

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} \leq 2 π - \frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{4}

Semplificare

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Aggiungi elementi simili:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} \leq 0

= x

Semplificare

2 π - \frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 π + 2 πn - \frac{11 π}{12}

2 π - \frac{2 π}{3} + 2 πn - \frac{π}{4}

Raggruppa termini simili

= 2 π + 2 πn - \frac{π}{4} - \frac{2 π}{3}

Minimo Comune Multiplo di

4, 3 : 12

4, 3

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

4 : 2 \cdot 2

4

4

diviso per

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Fattorizzazione prima di

3 : 3

3

3

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 3

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 4 o 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

12

Per

\frac{π}{4} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

Per

\frac{2 π}{3} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

4

\frac{2 π}{3} = \frac{2 π 4}{3 \cdot 4} = \frac{8 π}{12}

= - \frac{π 3}{12} - \frac{8 π}{12}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 - 8 π}{12}

Aggiungi elementi simili:

- 3 π - 8 π = - 11 π

= \frac{- 11 π}{12}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= 2 π + 2 πn - \frac{11 π}{12}

x \leq 2 π + 2 πn - \frac{11 π}{12}

x \leq 2 π + 2 πn - \frac{11 π}{12}

x \leq 2 π + 2 πn - \frac{11 π}{12}

Semplificare

2 π - \frac{11 π}{12} : \frac{13 π}{12}

2 π - \frac{11 π}{12}

Converti l'elemento in frazione:

2 π = \frac{2 π 12}{12}

= \frac{2 π 12}{12} - \frac{11 π}{12}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 12 - 11 π}{12}

2 π 12 - 11 π = 13 π

2 π 12 - 11 π

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 12 = 24

= 24 π - 11 π

Aggiungi elementi simili:

24 π - 11 π = 13 π

= 13 π

= \frac{13 π}{12}

x \leq \frac{13 π}{12} + 2 πn

Combina gli intervalli

x \geq 2 πn + \frac{5 π}{12} and x \leq \frac{13 π}{12} + 2 πn

Unire gli intervalli sovrapposti

\frac{5 π}{12} + 2 πn \leq x \leq \frac{13 π}{12} + 2 πn

Esempi popolari

cos(x)(1-tan(x))<= 0

sin(x)>= (-sqrt(2))/2

cos(θ)< 1/2

cos(x)+sin(x)<0.46

tan(x/2-pi/4)>= sqrt(3)