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Popular Trigonometria >

cos((3x)/2)cos(x/2)>= 0

Solução

cos (\frac{3 x}{2}) cos (\frac{x}{2}) \geq 0

Solução

x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or x = π + 2 πn or x \geq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Notação de intervalo

(- \infty + 2 πn, \frac{π}{3} + 2 πn] \cup x = π + 2 πn \cup [\frac{5 π}{3} + 2 πn, \infty + 2 πn)

Decimal

x \leq 1.04719 \dots + 2 πn or x = 3.14159 \dots + 2 πn or x \geq 5.23598 \dots + 2 πn

Passos da solução

cos (\frac{3 x}{2}) cos (\frac{x}{2}) \geq 0

Sea:

u = \frac{x}{2}

cos (3 u) cos (u) \geq 0

cos (3 u) cos (u) \geq 0 : πn \leq u \leq \frac{π}{6} + πn or u = \frac{π}{2} + πn or \frac{5 π}{6} + πn \leq u \leq π + πn

cos (3 u) cos (u) \geq 0

Periodicidade de

cos (3 u) cos (u) : π

cos (3 u) cos (u)

é composta pelas seguintes funções e períodos:

cos (3 u)

com periodicidade de

\frac{2 π}{3}

A periodicidade composta é:

= π

Para encontrar os zeros, defina a desigualdade como zero

cos (3 u) cos (u) = 0

Resolver

cos (3 u) cos (u) = 0

para

0 \leq u < π

cos (3 u) cos (u) = 0

Resolver cada parte separadamente

cos (3 u) = 0 : u = \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2} or u = \frac{5 π}{6}

cos (3 u) = 0, 0 \leq u < π

Soluções gerais para

cos (3 u) = 0

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

3 u = \frac{π}{2} + 2 πn, 3 u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

3 u = \frac{π}{2} + 2 πn, 3 u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Resolver

3 u = \frac{π}{2} + 2 πn : u = \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

3 u = \frac{π}{2} + 2 πn

Dividir ambos os lados por

3

3 u = \frac{π}{2} + 2 πn

Dividir ambos os lados por

3

\frac{3 u}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

\frac{3 u}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Dividir:

\frac{3}{3} = 1

= u

Simplificar

\frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3} : \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{π}{2}}{3} = \frac{π}{6}

\frac{\frac{π}{2}}{3}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 3}

Multiplicar os números:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{π}{6}

= \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

u = \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

u = \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

u = \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

Resolver

3 u = \frac{3 π}{2} + 2 πn : u = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

3 u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Dividir ambos os lados por

3

3 u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Dividir ambos os lados por

3

\frac{3 u}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

\frac{3 u}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Dividir:

\frac{3}{3} = 1

= u

Simplificar

\frac{\frac{3 π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3} : \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{3 π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{3 π}{2}}{3} = \frac{π}{2}

\frac{\frac{3 π}{2}}{3}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 3}

Multiplicar os números:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{3 π}{6}

Eliminar o fator comum:

3

= \frac{π}{2}

= \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

u = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

u = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

u = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

u = \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}, u = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

Soluções para o intervalo

0 \leq u < π

u = \frac{π}{6}, u = \frac{π}{2}, u = \frac{5 π}{6}

cos (u) = 0 : u = \frac{π}{2}

cos (u) = 0, 0 \leq u < π

Soluções gerais para

cos (u) = 0

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluções para o intervalo

0 \leq u < π

u = \frac{π}{2}

Combinar toda as soluções

\frac{π}{6} or \frac{π}{2} or \frac{5 π}{6}

Os tervalos entre os zeros

0 < u < \frac{π}{6}, \frac{π}{6} < u < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} < u < π

Resumir em uma tabela:

cos (3 u) cos (u) cos (3 u) cos (u) u = 0 + + + 0 < u < \frac{π}{6} + + + u = \frac{π}{6} 0 + 0 \frac{π}{6} < u < \frac{π}{2} - + - u = \frac{π}{2} 000 \frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{6} + - - u = \frac{5 π}{6} 0 - 0 \frac{5 π}{6} < u < π - - + u = π - - +

Identifique os intervalos que satisfaçam à condição necessária:

\geq 0

u = 0 or 0 < u < \frac{π}{6} or u = \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2} or u = \frac{5 π}{6} or \frac{5 π}{6} < u < π or u = π

Junte intervalos que se sobrepoem

0 \leq u \leq \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2} or \frac{5 π}{6} \leq u < π or u = π

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

u = 0

0 < u < \frac{π}{6}

0 \leq u < \frac{π}{6}

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

0 \leq u < \frac{π}{6}

u = \frac{π}{6}

0 \leq u \leq \frac{π}{6}

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

0 \leq u \leq \frac{π}{6}

u = \frac{π}{2}

0 \leq u \leq \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2}

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

0 \leq u \leq \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2}

u = \frac{5 π}{6}

0 \leq u \leq \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2} or u = \frac{5 π}{6}

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

0 \leq u \leq \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2} or u = \frac{5 π}{6}

\frac{5 π}{6} < u < π

0 \leq u \leq \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2} or \frac{5 π}{6} \leq u < π

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

0 \leq u \leq \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2} or \frac{5 π}{6} \leq u < π

u = π

0 \leq u \leq \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2} or \frac{5 π}{6} \leq u \leq π

0 \leq u \leq \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2} or \frac{5 π}{6} \leq u \leq π

Utilizar a periodicidade de

cos (3 u) cos (u)

πn \leq u \leq \frac{π}{6} + πn or u = \frac{π}{2} + πn or \frac{5 π}{6} + πn \leq u \leq π + πn

πn \leq u \leq \frac{π}{6} + πn or u = \frac{π}{2} + πn or \frac{5 π}{6} + πn \leq u \leq π + πn

Substituir na equação

\frac{x}{2} = u

πn \leq (\frac{x}{2}) \leq \frac{π}{6} + πn or (\frac{x}{2}) = \frac{π}{2} + πn or \frac{5 π}{6} + πn \leq (\frac{x}{2}) \leq π + πn

πn \leq (\frac{x}{2}) \leq \frac{π}{6} + πn or (\frac{x}{2}) = \frac{π}{2} + πn or \frac{5 π}{6} + πn \leq (\frac{x}{2}) \leq π + πn : x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or x = π + 2 πn or x \geq \frac{5 π}{3} + 2 πn

πn \leq (\frac{x}{2}) \leq \frac{π}{6} + πn or (\frac{x}{2}) = \frac{π}{2} + πn or \frac{5 π}{6} + πn \leq (\frac{x}{2}) \leq π + πn

πn \leq \frac{x}{2} \leq \frac{π}{6} + πn : x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

πn \leq \frac{x}{2} \leq \frac{π}{6} + πn

a \leq u \leq b

então

a \leq u and u \leq b

πn \leq \frac{x}{2} and \frac{x}{2} \leq \frac{π}{6} + πn

πn \leq \frac{x}{2} : x \geq 2 πn

πn \leq \frac{x}{2}

Trocar lados

\frac{x}{2} \geq πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{x}{2} \geq πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} \geq 2 πn

Simplificar

x \geq 2 πn

x \geq 2 πn

\frac{x}{2} \leq \frac{π}{6} + πn : x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

\frac{x}{2} \leq \frac{π}{6} + πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{x}{2} \leq \frac{π}{6} + πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} \leq 2 \cdot \frac{π}{6} + 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} \leq 2 \cdot \frac{π}{6} + 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

2 \cdot \frac{π}{6} + 2 πn : \frac{π}{3} + 2 πn

2 \cdot \frac{π}{6} + 2 πn

2 \cdot \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

2 \cdot \frac{π}{6}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{6}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{π}{3}

= \frac{π}{3} + 2 πn

x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

Combinar os intervalos

x \geq 2 πn and x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

Junte intervalos que se sobrepoem

x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + πn : x = π + 2 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 πn : π + 2 πn

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 πn

2 \cdot \frac{π}{2} = π

2 \cdot \frac{π}{2}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= π

= π + 2 πn

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

\frac{5 π}{6} + πn \leq \frac{x}{2} \leq π + πn : x \geq \frac{5 π}{3} + 2 πn

\frac{5 π}{6} + πn \leq \frac{x}{2} \leq π + πn

a \leq u \leq b

então

a \leq u and u \leq b

\frac{5 π}{6} + πn \leq \frac{x}{2} and \frac{x}{2} \leq π + πn

\frac{5 π}{6} + πn \leq \frac{x}{2} : x \geq \frac{5 π}{3} + 2 πn

\frac{5 π}{6} + πn \leq \frac{x}{2}

Trocar lados

\frac{x}{2} \geq \frac{5 π}{6} + πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{x}{2} \geq \frac{5 π}{6} + πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} \geq 2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} \geq 2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 πn : \frac{5 π}{3} + 2 πn

2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 πn

2 \cdot \frac{5 π}{6} = \frac{5 π}{3}

2 \cdot \frac{5 π}{6}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 π 2}{6}

Multiplicar os números:

5 \cdot 2 = 10

= \frac{10 π}{6}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{5 π}{3}

= \frac{5 π}{3} + 2 πn

x \geq \frac{5 π}{3} + 2 πn

x \geq \frac{5 π}{3} + 2 πn

x \geq \frac{5 π}{3} + 2 πn

\frac{x}{2} \leq π + πn : x \leq 2 π + 2 πn

\frac{x}{2} \leq π + πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{x}{2} \leq π + πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} \leq 2 π + 2 πn

Simplificar

x \leq 2 π + 2 πn

x \leq 2 π + 2 πn

Combinar os intervalos

x \geq \frac{5 π}{3} + 2 πn and x \leq 2 π + 2 πn

Junte intervalos que se sobrepoem

x \geq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combinar os intervalos

x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or x = π + 2 πn or x \geq \frac{5 π}{3} + 2 πn

x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or x = π + 2 πn or x \geq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Exemplos populares

(2sin(x)-1)*(sqrt(3)tan(x)+1)>0

(2 sin (x) - 1) \cdot (3 tan (x) + 1) > 0

(2cos(x)-1)(2cos(x)+sqrt(2))<0

(2 cos (x) - 1) (2 cos (x) + 2) < 0

2cos(3x-1/2)>= (sqrt(2))/2

2 cos (3 x - \frac{1}{2}) \geq \frac{2}{2}

2cos(x)+sqrt(2)<0

2 cos (x) + 2 < 0

sin(2*x)>= 1

sin (2 \cdot x) \geq 1