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Popolare Trigonometria >

cos((3x)/2)cos(x/2)>= 0

Soluzione

cos (\frac{3 x}{2}) cos (\frac{x}{2}) \geq 0

Soluzione

x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or x = π + 2 πn or x \geq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Notazione dell’intervallo

(- \infty + 2 πn, \frac{π}{3} + 2 πn] \cup x = π + 2 πn \cup [\frac{5 π}{3} + 2 πn, \infty + 2 πn)

Decimale

x \leq 1.04719 \dots + 2 πn or x = 3.14159 \dots + 2 πn or x \geq 5.23598 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

cos (\frac{3 x}{2}) cos (\frac{x}{2}) \geq 0

Sia:

u = \frac{x}{2}

cos (3 u) cos (u) \geq 0

cos (3 u) cos (u) \geq 0 : πn \leq u \leq \frac{π}{6} + πn or u = \frac{π}{2} + πn or \frac{5 π}{6} + πn \leq u \leq π + πn

cos (3 u) cos (u) \geq 0

Periodicità di

cos (3 u) cos (u) : π

cos (3 u) cos (u)

è composta dalle seguenti funzioni e periodi:

cos (3 u)

con periodicità di

\frac{2 π}{3}

La periodicità composta è:

= π

Per trovare gli zeri, imposta l'ineguaglianza a zero

cos (3 u) cos (u) = 0

Risolvi

cos (3 u) cos (u) = 0

per

0 \leq u < π

cos (3 u) cos (u) = 0

Risolvere ogni parte separatamente

cos (3 u) = 0 : u = \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2} or u = \frac{5 π}{6}

cos (3 u) = 0, 0 \leq u < π

Soluzioni generali per

cos (3 u) = 0

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

3 u = \frac{π}{2} + 2 πn, 3 u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

3 u = \frac{π}{2} + 2 πn, 3 u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Risolvi

3 u = \frac{π}{2} + 2 πn : u = \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

3 u = \frac{π}{2} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

3

3 u = \frac{π}{2} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 u}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Dividi i numeri:

\frac{3}{3} = 1

= u

Semplificare

\frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3} : \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{π}{2}}{3} = \frac{π}{6}

\frac{\frac{π}{2}}{3}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 3}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{π}{6}

= \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

u = \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

u = \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

u = \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}

Risolvi

3 u = \frac{3 π}{2} + 2 πn : u = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

3 u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

3

3 u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 u}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Dividi i numeri:

\frac{3}{3} = 1

= u

Semplificare

\frac{\frac{3 π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3} : \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{3 π}{2}}{3} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{3 π}{2}}{3} = \frac{π}{2}

\frac{\frac{3 π}{2}}{3}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 3}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{3 π}{6}

Cancella il fattore comune:

3

= \frac{π}{2}

= \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

u = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

u = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

u = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

u = \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{3}, u = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{3}

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq u < π

u = \frac{π}{6}, u = \frac{π}{2}, u = \frac{5 π}{6}

cos (u) = 0 : u = \frac{π}{2}

cos (u) = 0, 0 \leq u < π

Soluzioni generali per

cos (u) = 0

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq u < π

u = \frac{π}{2}

Combinare tutte le soluzioni

\frac{π}{6} or \frac{π}{2} or \frac{5 π}{6}

Gli intervalli tra gli zeri

0 < u < \frac{π}{6}, \frac{π}{6} < u < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} < u < π

Riassumere in una tabella:

cos (3 u) cos (u) cos (3 u) cos (u) u = 0 + + + 0 < u < \frac{π}{6} + + + u = \frac{π}{6} 0 + 0 \frac{π}{6} < u < \frac{π}{2} - + - u = \frac{π}{2} 000 \frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{6} + - - u = \frac{5 π}{6} 0 - 0 \frac{5 π}{6} < u < π - - + u = π - - +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

\geq 0

u = 0 or 0 < u < \frac{π}{6} or u = \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2} or u = \frac{5 π}{6} or \frac{5 π}{6} < u < π or u = π

Unire gli intervalli sovrapposti

0 \leq u \leq \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2} or \frac{5 π}{6} \leq u < π or u = π

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u = 0

0 < u < \frac{π}{6}

0 \leq u < \frac{π}{6}

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

0 \leq u < \frac{π}{6}

u = \frac{π}{6}

0 \leq u \leq \frac{π}{6}

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

0 \leq u \leq \frac{π}{6}

u = \frac{π}{2}

0 \leq u \leq \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2}

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

0 \leq u \leq \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2}

u = \frac{5 π}{6}

0 \leq u \leq \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2} or u = \frac{5 π}{6}

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

0 \leq u \leq \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2} or u = \frac{5 π}{6}

\frac{5 π}{6} < u < π

0 \leq u \leq \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2} or \frac{5 π}{6} \leq u < π

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

0 \leq u \leq \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2} or \frac{5 π}{6} \leq u < π

u = π

0 \leq u \leq \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2} or \frac{5 π}{6} \leq u \leq π

0 \leq u \leq \frac{π}{6} or u = \frac{π}{2} or \frac{5 π}{6} \leq u \leq π

Applicare la periodicità di

cos (3 u) cos (u)

πn \leq u \leq \frac{π}{6} + πn or u = \frac{π}{2} + πn or \frac{5 π}{6} + πn \leq u \leq π + πn

πn \leq u \leq \frac{π}{6} + πn or u = \frac{π}{2} + πn or \frac{5 π}{6} + πn \leq u \leq π + πn

Sostituire indietro

\frac{x}{2} = u

πn \leq (\frac{x}{2}) \leq \frac{π}{6} + πn or (\frac{x}{2}) = \frac{π}{2} + πn or \frac{5 π}{6} + πn \leq (\frac{x}{2}) \leq π + πn

πn \leq (\frac{x}{2}) \leq \frac{π}{6} + πn or (\frac{x}{2}) = \frac{π}{2} + πn or \frac{5 π}{6} + πn \leq (\frac{x}{2}) \leq π + πn : x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or x = π + 2 πn or x \geq \frac{5 π}{3} + 2 πn

πn \leq (\frac{x}{2}) \leq \frac{π}{6} + πn or (\frac{x}{2}) = \frac{π}{2} + πn or \frac{5 π}{6} + πn \leq (\frac{x}{2}) \leq π + πn

πn \leq \frac{x}{2} \leq \frac{π}{6} + πn : x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

πn \leq \frac{x}{2} \leq \frac{π}{6} + πn

a \leq u \leq b

allora

a \leq u and u \leq b

πn \leq \frac{x}{2} and \frac{x}{2} \leq \frac{π}{6} + πn

πn \leq \frac{x}{2} : x \geq 2 πn

πn \leq \frac{x}{2}

Scambia i lati

\frac{x}{2} \geq πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{x}{2} \geq πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} \geq 2 πn

Semplificare

x \geq 2 πn

x \geq 2 πn

\frac{x}{2} \leq \frac{π}{6} + πn : x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

\frac{x}{2} \leq \frac{π}{6} + πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{x}{2} \leq \frac{π}{6} + πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} \leq 2 \cdot \frac{π}{6} + 2 πn

Semplificare

\frac{2 x}{2} \leq 2 \cdot \frac{π}{6} + 2 πn

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

2 \cdot \frac{π}{6} + 2 πn : \frac{π}{3} + 2 πn

2 \cdot \frac{π}{6} + 2 πn

2 \cdot \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

2 \cdot \frac{π}{6}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{6}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{π}{3}

= \frac{π}{3} + 2 πn

x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

Combina gli intervalli

x \geq 2 πn and x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

Unire gli intervalli sovrapposti

x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + πn : x = π + 2 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 πn

Semplificare

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 πn

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 πn : π + 2 πn

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 πn

2 \cdot \frac{π}{2} = π

2 \cdot \frac{π}{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= π

= π + 2 πn

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

\frac{5 π}{6} + πn \leq \frac{x}{2} \leq π + πn : x \geq \frac{5 π}{3} + 2 πn

\frac{5 π}{6} + πn \leq \frac{x}{2} \leq π + πn

a \leq u \leq b

allora

a \leq u and u \leq b

\frac{5 π}{6} + πn \leq \frac{x}{2} and \frac{x}{2} \leq π + πn

\frac{5 π}{6} + πn \leq \frac{x}{2} : x \geq \frac{5 π}{3} + 2 πn

\frac{5 π}{6} + πn \leq \frac{x}{2}

Scambia i lati

\frac{x}{2} \geq \frac{5 π}{6} + πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{x}{2} \geq \frac{5 π}{6} + πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} \geq 2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 πn

Semplificare

\frac{2 x}{2} \geq 2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 πn

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 πn : \frac{5 π}{3} + 2 πn

2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 πn

2 \cdot \frac{5 π}{6} = \frac{5 π}{3}

2 \cdot \frac{5 π}{6}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 π 2}{6}

Moltiplica i numeri:

5 \cdot 2 = 10

= \frac{10 π}{6}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{5 π}{3}

= \frac{5 π}{3} + 2 πn

x \geq \frac{5 π}{3} + 2 πn

x \geq \frac{5 π}{3} + 2 πn

x \geq \frac{5 π}{3} + 2 πn

\frac{x}{2} \leq π + πn : x \leq 2 π + 2 πn

\frac{x}{2} \leq π + πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{x}{2} \leq π + πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} \leq 2 π + 2 πn

Semplificare

x \leq 2 π + 2 πn

x \leq 2 π + 2 πn

Combina gli intervalli

x \geq \frac{5 π}{3} + 2 πn and x \leq 2 π + 2 πn

Unire gli intervalli sovrapposti

x \geq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combina gli intervalli

x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or x = π + 2 πn or x \geq \frac{5 π}{3} + 2 πn

x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or x = π + 2 πn or x \geq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Esempi popolari

(2sin(x)-1)*(sqrt(3)tan(x)+1)>0

(2cos(x)-1)(2cos(x)+sqrt(2))<0

2cos(3x-1/2)>= (sqrt(2))/2

2cos(x)+sqrt(2)<0

sin(2*x)>= 1