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Popolare Trigonometria >

csc(x)<=-2

Soluzione

csc (x) \leq - 2

Soluzione

π + 2 πn < x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn or \frac{11 π}{6} + 2 πn \leq x < 2 π + 2 πn

Notazione dell’intervallo

(π + 2 πn, \frac{7 π}{6} + 2 πn] \cup [\frac{11 π}{6} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

Decimale

3.14159 \dots + 2 πn < x \leq 3.66519 \dots + 2 πn or 5.75958 \dots + 2 πn \leq x < 6.28318 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

csc (x) \leq - 2

Esprimere con sen e cos

csc (x) \leq - 2

Usare l'identità trigonometrica di base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} \leq - 2

\frac{1}{sin ( x )} \leq - 2

Riscrivere in forma standard

\frac{1}{sin ( x )} \leq - 2

Aggiungi

2

ad entrambi i lati

\frac{1}{sin ( x )} + 2 \leq - 2 + 2

Semplificare

\frac{1}{sin ( x )} + 2 \leq 0

Semplifica

\frac{1}{sin ( x )} + 2 : \frac{1 + 2 sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} + 2

Converti l'elemento in frazione:

2 = \frac{2 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} + \frac{2 sin ( x )}{sin ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + 2 sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{1 + 2 sin ( x )}{sin ( x )} \leq 0

\frac{1 + 2 sin ( x )}{sin ( x )} \leq 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

\frac{1 + 2 sin ( x )}{sin ( x )}

Trova i segni di

1 + 2 sin (x)

1 + 2 sin (x) = 0 : sin (x) = - \frac{1}{2}

1 + 2 sin (x) = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 + 2 sin (x) = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 + 2 sin (x) - 1 = 0 - 1

Semplificare

2 sin (x) = - 1

2 sin (x) = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 sin (x) = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 sin ( x )}{2} = \frac{- 1}{2}

Semplificare

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = - \frac{1}{2}

1 + 2 sin (x) < 0 : sin (x) < - \frac{1}{2}

1 + 2 sin (x) < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 + 2 sin (x) < 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 + 2 sin (x) - 1 < 0 - 1

Semplificare

2 sin (x) < - 1

2 sin (x) < - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 sin (x) < - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 sin ( x )}{2} < \frac{- 1}{2}

Semplificare

sin (x) < - \frac{1}{2}

sin (x) < - \frac{1}{2}

1 + 2 sin (x) > 0 : sin (x) > - \frac{1}{2}

1 + 2 sin (x) > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 + 2 sin (x) > 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 + 2 sin (x) - 1 > 0 - 1

Semplificare

2 sin (x) > - 1

2 sin (x) > - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 sin (x) > - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 sin ( x )}{2} > \frac{- 1}{2}

Semplificare

sin (x) > - \frac{1}{2}

sin (x) > - \frac{1}{2}

Trova i segni di

sin (x)

sin (x) = 0

sin (x) < 0

sin (x) > 0

Trova i punti singolari

Trovare gli zeri del denominatore

sin (x) : sin (x) = 0

Riassumere in una tabella:

1 + 2 sin (x) sin (x) \frac{1 + 2 s i n ( x )}{s i n ( x )} sin (x) < - \frac{1}{2} - - + sin (x) = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < sin (x) < 0 + - - sin (x) = 0 + 0 “ N o n d e f ini t o “ sin (x) > 0 + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

\leq 0

sin (x) = - \frac{1}{2} or - \frac{1}{2} < sin (x) < 0

Unire gli intervalli sovrapposti

sin (x) = - \frac{1}{2} or - \frac{1}{2} < sin (x) < 0

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

sin (x) = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{2} < sin (x) < 0

- \frac{1}{2} \leq sin (x) < 0

- \frac{1}{2} \leq sin (x) < 0

- \frac{1}{2} \leq sin (x) < 0

a \leq u < b

allora

a \leq u and u < b

- \frac{1}{2} \leq sin (x) and sin (x) < 0

- \frac{1}{2} \leq sin (x) : - \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn

- \frac{1}{2} \leq sin (x)

Scambia i lati

sin (x) \geq - \frac{1}{2}

Per

sin (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

allora

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Usare la proprietà seguente:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

Semplificare

π - arcsin (- \frac{1}{2}) : \frac{7 π}{6}

π - arcsin (- \frac{1}{2})

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Usare la proprietà seguente:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= π - (- \frac{π}{6})

Semplificare

π - (- \frac{π}{6})

Applicare la regola

- (- a) = a

= π + \frac{π}{6}

Converti l'elemento in frazione:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} + \frac{π}{6}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 + π}{6}

Aggiungi elementi simili:

6 π + π = 7 π

= \frac{7 π}{6}

= \frac{7 π}{6}

- \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn

sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) < 0

Per

sin (x) < a

, se

- 1 < a \leq 1

allora

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < x < arcsin (0) + 2 πn

Semplificare

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

Semplificare

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn < x < 0 + 2 πn

Semplificare

- π + 2 πn < x < 2 πn

Combina gli intervalli

- \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn and - π + 2 πn < x < 2 πn

Unire gli intervalli sovrapposti

π + 2 πn < x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn or \frac{11 π}{6} + 2 πn \leq x < 2 π + 2 πn

Esempi popolari

sin(x)>(sin(x))/(cos(x)-2)

cot(x)<= sqrt(3)

2cos(x)>= 1

1/3 cos(3x-pi/3)< 1/6

-cos(3x)<0