English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Populaire Trigonométrie >

2cos^2(x)+cos(x)-1<= 0

Solution

2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1 \leq 0

Solution

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

La notation des intervalles

[\frac{π}{3} + 2 πn, \frac{5 π}{3} + 2 πn]

Décimale

1.04719 \dots + 2 πn \leq x \leq 5.23598 \dots + 2 πn

étapes des solutions

2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1 \leq 0

Soit :

u = cos (x)

2 u^{2} + u - 1 \leq 0

2 u^{2} + u - 1 \leq 0 : - 1 \leq u \leq \frac{1}{2}

2 u^{2} + u - 1 \leq 0

Factoriser

2 u^{2} + u - 1 : (2 u - 1) (u + 1)

2 u^{2} + u - 1

Décomposer l'expression en groupes

2 u^{2} + u - 1

Définition

Facteurs de

2 : 1, 2

2

Diviseurs (Facteurs)

Trouver les facteurs premiers de

2 : 2

2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 2

Ajouter 1

1

Les facteurs de

2

1, 2

Facteurs négatifs de

2 : - 1, - 2

Multiplier les facteurs par

- 1

pour obtenir des facteurs négatifs

- 1, - 2

Pour chaque deux facteurs tels que

u * v = - 2,

vérifier si

u + v = 1

Vérifier

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

FauxVérifier

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

vrai

u = 2, v = - 1

Grouper dans

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

Factoriser

u

depuis

2 u^{2} - u : u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Factoriser le terme commun

u

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

Factoriser le terme commun

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 1)

(2 u - 1) (u + 1) \leq 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

(2 u - 1) (u + 1)

Trouver les signes de

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

2 u = 1

2 u = 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u = 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplifier

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u - 1 < 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplifier

2 u < 1

2 u < 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u < 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Simplifier

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u - 1 > 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplifier

2 u > 1

2 u > 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u > 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Simplifier

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Trouver les signes de

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 < 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplifier

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 > 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplifier

u > - 1

u > - 1

Récapituler dans un tableau:

2 u - 1 u + 1 (2 u - 1) (u + 1) u < - 1 - - + u = - 1 - 00 - 1 < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

\leq 0

u = - 1 or - 1 < u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

- 1 \leq u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

u = - 1

- 1 < u < \frac{1}{2}

- 1 \leq u < \frac{1}{2}

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

- 1 \leq u < \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

- 1 \leq u \leq \frac{1}{2}

- 1 \leq u \leq \frac{1}{2}

- 1 \leq u \leq \frac{1}{2}

- 1 \leq u \leq \frac{1}{2}

Remplacer

u = cos (x)

- 1 \leq cos (x) \leq \frac{1}{2}

a \leq u \leq b

alors

a \leq u and u \leq b

- 1 \leq cos (x) and cos (x) \leq \frac{1}{2}

- 1 \leq cos (x) :

Vrai pour toute

x \in R

- 1 \leq cos (x)

Transposer les termes des côtés

cos (x) \geq - 1

Plage de

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Définition de la plage de fonction

La plage de la base de la fonction

cos

est

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \geq - 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Soit

y = cos (x)

Réunir les intervalles

y \geq - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

y \geq - 1 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

y \geq - 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vrai pour toute x

Vrai pour toute x \in R

cos (x) \leq \frac{1}{2} : \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) \leq \frac{1}{2}

Pour

cos (x) \leq a

, si

- 1 < a < 1

alors

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplifier

arccos (\frac{1}{2}) : \frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

Simplifier

2 π - arccos (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{3}

2 π - arccos (\frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{3}

Simplifier

2 π - \frac{π}{3}

Convertir un élément en fraction:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{π}{3}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - π}{3}

2 π 3 - π = 5 π

2 π 3 - π

Multiplier les nombres :

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - π

Additionner les éléments similaires :

6 π - π = 5 π

= 5 π

= \frac{5 π}{3}

= \frac{5 π}{3}

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Réunir les intervalles

Vrai pour toute x \in R and \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Exemples populaires

sin(x/3)<(sqrt(3))/2

tan(x)>=-(sqrt(3))/3

(2sin(2x)+1/2)<= 1/2

((1-cos(x))(1+cos(x)))/(sin(x)+cos(x))>0

(2sin(x)+1)(-2cos(x)+sqrt(3))>0