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Populaire Trigonométrie >

2sin^2(4x)>= 0.5

Solution

2 sin^{2} (4 x) \geq 0.5

Solution

\frac{π}{24} + \frac{π}{2} n \leq x \leq \frac{5 π}{24} + \frac{π}{2} n or - \frac{5 π}{24} + \frac{π}{2} n \leq x \leq - \frac{π}{24} + \frac{π}{2} n

La notation des intervalles

[\frac{π}{24} + \frac{π}{2} n, \frac{5 π}{24} + \frac{π}{2} n] \cup [- \frac{5 π}{24} + \frac{π}{2} n, - \frac{π}{24} + \frac{π}{2} n]

Décimale

0.13089 \dots + \frac{π}{2} n \leq x \leq 0.65449 \dots + \frac{π}{2} n or - 0.65449 \dots + \frac{π}{2} n \leq x \leq - 0.13089 \dots + \frac{π}{2} n

étapes des solutions

2 sin^{2} (4 x) \geq 0.5

Diviser les deux côtés par

2

2 sin^{2} (4 x) \geq 0.5

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 sin ^{2} ( 4 x )}{2} \geq \frac{0.5}{2}

Simplifier

sin^{2} (4 x) \geq 0.25

sin^{2} (4 x) \geq 0.25

Pour

u^{n} \geq a

, si

n

est pair alors

sin (4 x) \leq - 0.25 or sin (4 x) \geq 0.25

0.25 = 0.5

0.25

0.25 = 0.5

= 0.5

sin (4 x) \leq - 0.5 or sin (4 x) \geq 0.5

sin (4 x) \leq - 0.5 : - \frac{5 π}{24} + \frac{π}{2} n \leq x \leq - \frac{π}{24} + \frac{π}{2} n

sin (4 x) \leq - 0.5

Pour

sin (x) \leq a

, si

- 1 < a < 1

alors

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- 0.5) + 2 πn \leq 4 x \leq arcsin (- 0.5) + 2 πn

a \leq u \leq b

alors

a \leq u and u \leq b

- π - arcsin (- 0.5) + 2 πn \leq 4 x and 4 x \leq arcsin (- 0.5) + 2 πn

- π - arcsin (- 0.5) + 2 πn \leq 4 x : x \geq - \frac{5 π}{24} + \frac{π}{2} n

- π - arcsin (- 0.5) + 2 πn \leq 4 x

Transposer les termes des côtés

4 x \geq - π - arcsin (- 0.5) + 2 πn

Simplifier

- π - arcsin (- 0.5) + 2 πn : - π + \frac{π}{6} + 2 πn

- π - arcsin (- 0.5) + 2 πn

arcsin (- 0.5) = - \frac{π}{6}

arcsin (- 0.5)

= arcsin (- \frac{1}{2})

Utiliser la propriété suivante :

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - π - (- \frac{π}{6}) + 2 πn

Appliquer la règle

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{6} + 2 πn

4 x \geq - π + \frac{π}{6} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

4

4 x \geq - π + \frac{π}{6} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

4

\frac{4 x}{4} \geq - \frac{π}{4} + \frac{\frac{π}{6}}{4} + \frac{2 πn}{4}

Simplifier

\frac{4 x}{4} \geq - \frac{π}{4} + \frac{\frac{π}{6}}{4} + \frac{2 πn}{4}

Simplifier

\frac{4 x}{4} : x

\frac{4 x}{4}

Diviser les nombres :

\frac{4}{4} = 1

= x

Simplifier

- \frac{π}{4} + \frac{\frac{π}{6}}{4} + \frac{2 πn}{4} : - \frac{π}{4} + \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

- \frac{π}{4} + \frac{\frac{π}{6}}{4} + \frac{2 πn}{4}

\frac{\frac{π}{6}}{4} = \frac{π}{24}

\frac{\frac{π}{6}}{4}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

6 \cdot 4 = 24

= \frac{π}{24}

\frac{2 πn}{4} = \frac{πn}{2}

\frac{2 πn}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{πn}{2}

= - \frac{π}{4} + \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

x \geq - \frac{π}{4} + \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

x \geq - \frac{π}{4} + \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

Simplifier

- \frac{π}{4} + \frac{π}{24} : - \frac{5 π}{24}

- \frac{π}{4} + \frac{π}{24}

Plus petit commun multiple de

4, 24 : 24

4, 24

Plus petit commun multiple (PPCM)

Factorisation première de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Factorisation première de

24 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

24

24

divisée par

224 = 12 \cdot 2

= 2 \cdot 12

12

divisée par

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 6

6

divisée par

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplier chaque facteur qui apparait le plus grand nombre de fois dans

4

24

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 24

= 24

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

24

Pour

\frac{π}{4} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

6

\frac{π}{4} = \frac{π 6}{4 \cdot 6} = \frac{π 6}{24}

= - \frac{π 6}{24} + \frac{π}{24}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 + π}{24}

Additionner les éléments similaires :

- 6 π + π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{24}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 π}{24}

x \geq - \frac{5 π}{24} + \frac{π}{2} n

x \geq - \frac{5 π}{24} + \frac{π}{2} n

4 x \leq arcsin (- 0.5) + 2 πn : x \leq - \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

4 x \leq arcsin (- 0.5) + 2 πn

Simplifier

arcsin (- 0.5) + 2 πn : - \frac{π}{6} + 2 πn

arcsin (- 0.5) + 2 πn

arcsin (- 0.5) = - \frac{π}{6}

arcsin (- 0.5)

= arcsin (- \frac{1}{2})

Utiliser la propriété suivante :

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6} + 2 πn

4 x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

4

4 x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

4

\frac{4 x}{4} \leq - \frac{\frac{π}{6}}{4} + \frac{2 πn}{4}

Simplifier

\frac{4 x}{4} \leq - \frac{\frac{π}{6}}{4} + \frac{2 πn}{4}

Simplifier

\frac{4 x}{4} : x

\frac{4 x}{4}

Diviser les nombres :

\frac{4}{4} = 1

= x

Simplifier

- \frac{\frac{π}{6}}{4} + \frac{2 πn}{4} : - \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

- \frac{\frac{π}{6}}{4} + \frac{2 πn}{4}

\frac{\frac{π}{6}}{4} = \frac{π}{24}

\frac{\frac{π}{6}}{4}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

6 \cdot 4 = 24

= \frac{π}{24}

\frac{2 πn}{4} = \frac{πn}{2}

\frac{2 πn}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{πn}{2}

= - \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

x \leq - \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

x \leq - \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

x \leq - \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

Réunir les intervalles

x \geq - \frac{5 π}{24} + \frac{π}{2} n and x \leq - \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

- \frac{5 π}{24} + \frac{π}{2} n \leq x \leq - \frac{π}{24} + \frac{π}{2} n

sin (4 x) \geq 0.5 : \frac{π}{24} + \frac{π}{2} n \leq x \leq \frac{5 π}{24} + \frac{π}{2} n

sin (4 x) \geq 0.5

Pour

sin (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

alors

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0.5) + 2 πn \leq 4 x \leq π - arcsin (0.5) + 2 πn

a \leq u \leq b

alors

a \leq u and u \leq b

arcsin (0.5) + 2 πn \leq 4 x and 4 x \leq π - arcsin (0.5) + 2 πn

arcsin (0.5) + 2 πn \leq 4 x : x \geq \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

arcsin (0.5) + 2 πn \leq 4 x

Transposer les termes des côtés

4 x \geq arcsin (0.5) + 2 πn

Simplifier

arcsin (0.5) + 2 πn : \frac{π}{6} + 2 πn

arcsin (0.5) + 2 πn

arcsin (0.5) = \frac{π}{6}

arcsin (0.5)

= arcsin (\frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= \frac{π}{6}

= \frac{π}{6} + 2 πn

4 x \geq \frac{π}{6} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

4

4 x \geq \frac{π}{6} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

4

\frac{4 x}{4} \geq \frac{\frac{π}{6}}{4} + \frac{2 πn}{4}

Simplifier

\frac{4 x}{4} \geq \frac{\frac{π}{6}}{4} + \frac{2 πn}{4}

Simplifier

\frac{4 x}{4} : x

\frac{4 x}{4}

Diviser les nombres :

\frac{4}{4} = 1

= x

Simplifier

\frac{\frac{π}{6}}{4} + \frac{2 πn}{4} : \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

\frac{\frac{π}{6}}{4} + \frac{2 πn}{4}

\frac{\frac{π}{6}}{4} = \frac{π}{24}

\frac{\frac{π}{6}}{4}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

6 \cdot 4 = 24

= \frac{π}{24}

\frac{2 πn}{4} = \frac{πn}{2}

\frac{2 πn}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{πn}{2}

= \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

x \geq \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

x \geq \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

x \geq \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

4 x \leq π - arcsin (0.5) + 2 πn : x \leq \frac{5 π}{24} + \frac{π}{2} n

4 x \leq π - arcsin (0.5) + 2 πn

Simplifier

π - arcsin (0.5) + 2 πn : π - \frac{π}{6} + 2 πn

π - arcsin (0.5) + 2 πn

arcsin (0.5) = \frac{π}{6}

arcsin (0.5)

= arcsin (\frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= \frac{π}{6}

= π - \frac{π}{6} + 2 πn

4 x \leq π - \frac{π}{6} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

4

4 x \leq π - \frac{π}{6} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

4

\frac{4 x}{4} \leq \frac{π}{4} - \frac{\frac{π}{6}}{4} + \frac{2 πn}{4}

Simplifier

\frac{4 x}{4} \leq \frac{π}{4} - \frac{\frac{π}{6}}{4} + \frac{2 πn}{4}

Simplifier

\frac{4 x}{4} : x

\frac{4 x}{4}

Diviser les nombres :

\frac{4}{4} = 1

= x

Simplifier

\frac{π}{4} - \frac{\frac{π}{6}}{4} + \frac{2 πn}{4} : \frac{π}{4} - \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

\frac{π}{4} - \frac{\frac{π}{6}}{4} + \frac{2 πn}{4}

\frac{\frac{π}{6}}{4} = \frac{π}{24}

\frac{\frac{π}{6}}{4}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

6 \cdot 4 = 24

= \frac{π}{24}

\frac{2 πn}{4} = \frac{πn}{2}

\frac{2 πn}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{πn}{2}

= \frac{π}{4} - \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

x \leq \frac{π}{4} - \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

x \leq \frac{π}{4} - \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

Simplifier

\frac{π}{4} - \frac{π}{24} : \frac{5 π}{24}

\frac{π}{4} - \frac{π}{24}

Plus petit commun multiple de

4, 24 : 24

4, 24

Plus petit commun multiple (PPCM)

Factorisation première de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Factorisation première de

24 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

24

24

divisée par

224 = 12 \cdot 2

= 2 \cdot 12

12

divisée par

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 6

6

divisée par

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplier chaque facteur qui apparait le plus grand nombre de fois dans

4

24

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 24

= 24

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

24

Pour

\frac{π}{4} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

6

\frac{π}{4} = \frac{π 6}{4 \cdot 6} = \frac{π 6}{24}

= \frac{π 6}{24} - \frac{π}{24}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{24}

Additionner les éléments similaires :

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{24}

x \leq \frac{5 π}{24} + \frac{π}{2} n

x \leq \frac{5 π}{24} + \frac{π}{2} n

Réunir les intervalles

x \geq \frac{π}{24} + \frac{πn}{2} and x \leq \frac{5 π}{24} + \frac{π}{2} n

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

\frac{π}{24} + \frac{π}{2} n \leq x \leq \frac{5 π}{24} + \frac{π}{2} n

Réunir les intervalles

- \frac{5 π}{24} + \frac{π}{2} n \leq x \leq - \frac{π}{24} + \frac{π}{2} n or \frac{π}{24} + \frac{π}{2} n \leq x \leq \frac{5 π}{24} + \frac{π}{2} n

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

\frac{π}{24} + \frac{π}{2} n \leq x \leq \frac{5 π}{24} + \frac{π}{2} n or - \frac{5 π}{24} + \frac{π}{2} n \leq x \leq - \frac{π}{24} + \frac{π}{2} n

Exemples populaires

cos(x)>-1

2(cos(3x))^2+sqrt(3)sin(6x)< 1/2

sin(3x)<= 1/3

tan(t)<-1/(sqrt(3))

sin(x)>= 1/2 ,0<= x<= 2pi