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Populaire Trigonométrie >

2(cos(3x))^2+sqrt(3)sin(6x)< 1/2

Solution

2 (cos (3 x))^{2} + 3 sin (6 x) < \frac{1}{2}

Solution

\frac{π}{6} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

La notation des intervalles

(\frac{π}{6} + \frac{π}{3} n, \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n)

Décimale

0.52359 \dots + \frac{π}{3} n < x < 0.87266 \dots + \frac{π}{3} n

étapes des solutions

2 (cos (3 x))^{2} + 3 sin (6 x) < \frac{1}{2}

Soit :

u = 3 x

2 (cos (u))^{2} + 3 sin (2 u) < \frac{1}{2}

2 (cos (u))^{2} + 3 sin (2 u) < \frac{1}{2} : \frac{π}{2} + πn < u < \frac{5 π}{6} + πn

2 (cos (u))^{2} + 3 sin (2 u) < \frac{1}{2}

Utiliser les identités suivantes:

sin (2 x) = 2 cos (x) sin (x)

2 (cos (u))^{2} + 3 \cdot 2 cos (u) sin (u) < \frac{1}{2}

Simplifier

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u) < \frac{1}{2}

Périodicité de

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u) : π

La périodicité composée de la somme des fonctions périodiques est le plus petit commun multiple des périodes

2 cos^{2} (u), 23 cos (u) sin (u)

Périodicité de

2 cos^{2} (u) : π

Périodicité de

cos^{n} (x) = \frac{p e ˊ riodicit e ˊ de cos ( x )}{2},

si n est pair

Périodicité de

cos (u) : 2 π

La périodicité de

cos (x)

est

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

Simplifier

π

Périodicité de

23 cos (u) sin (u) : π

23 cos (u) sin (u)

iest composée des fonctions et des périodes suivantes :

cos (u)

avec une périodicité de

2 π

Le composant de périodicité est :

π

Combiner des périodes :

π, π

= π

Factoriser

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u) : 2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u))

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{2} (u) = cos (u) cos (u)

= 2 cos (u) cos (u) + 23 cos (u) sin (u)

Factoriser le terme commun

2 cos (u)

= 2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u))

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) < \frac{1}{2}

Pour trouver les points zéros, définir l'inégalité à zéro

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) = 0

Résoudre

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) = 0

pour

0 \leq u < π

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

cos (u) = 0 : u = \frac{π}{2}

cos (u) = 0, 0 \leq u < π

Solutions générales pour

cos (u) = 0

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq u < π

u = \frac{π}{2}

cos (u) + 3 sin (u) = 0 : u = \frac{5 π}{6}

cos (u) + 3 sin (u) = 0, 0 \leq u < π

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

cos (u) + 3 sin (u) = 0

Diviser les deux côtés par

cos (u), cos (u) \neq = 0

\frac{cos ( u ) + 3 sin ( u )}{cos ( u )} = \frac{0}{cos ( u )}

Simplifier

1 + \frac{3 sin ( u )}{cos ( u )} = 0

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

1 + 3 tan (u) = 0

1 + 3 tan (u) = 0

Déplacer

1

vers la droite

1 + 3 tan (u) = 0

Soustraire

1

des deux côtés

1 + 3 tan (u) - 1 = 0 - 1

Simplifier

3 tan (u) = - 1

3 tan (u) = - 1

Diviser les deux côtés par

3

3 tan (u) = - 1

Diviser les deux côtés par

3

\frac{3 tan ( u )}{3} = \frac{- 1}{3}

Simplifier

\frac{3 tan ( u )}{3} = \frac{- 1}{3}

Simplifier

\frac{3 tan ( u )}{3} : tan (u)

\frac{3 tan ( u )}{3}

Annuler le facteur commun :

3

= tan (u)

Simplifier

\frac{- 1}{3} : - \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{3}

Simplifier

- \frac{1}{3} : - \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

Multiplier par le conjugué

\frac{3}{3}

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

tan (u) = - \frac{3}{3}

tan (u) = - \frac{3}{3}

tan (u) = - \frac{3}{3}

Solutions générales pour

tan (u) = - \frac{3}{3}

Tableau de périodicité

tan (x)

avec un cycle

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

u = \frac{5 π}{6} + πn

u = \frac{5 π}{6} + πn

Solutions pour la plage

0 \leq u < π

u = \frac{5 π}{6}

Combiner toutes les solutions

\frac{π}{2} or \frac{5 π}{6}

Les intervalles entre les points zéros

0 < u < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} < u < π

Récapituler dans un tableau:

cos (u) cos (u) + 3 sin (u) 2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) u = 0 + + + 0 < u < \frac{π}{2} + + + u = \frac{π}{2} 0 + 0 \frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{6} - + - u = \frac{5 π}{6} - 00 \frac{5 π}{6} < u < π - - + u = π - - +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

< 0

\frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{6}

Appliquer la périodicité de

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u)

\frac{π}{2} + πn < u < \frac{5 π}{6} + πn

\frac{π}{2} + πn < u < \frac{5 π}{6} + πn

Remplacer

3 x = u

\frac{π}{2} + πn < 3 x < \frac{5 π}{6} + πn

\frac{π}{2} + πn < 3 x < \frac{5 π}{6} + πn : \frac{π}{6} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

\frac{π}{2} + πn < 3 x < \frac{5 π}{6} + πn

a < u < b

alors

a < u and u < b

\frac{π}{2} + πn < 3 x and 3 x < \frac{5 π}{6} + πn

\frac{π}{2} + πn < 3 x : x > \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

\frac{π}{2} + πn < 3 x

Transposer les termes des côtés

3 x > \frac{π}{2} + πn

Diviser les deux côtés par

3

3 x > \frac{π}{2} + πn

Diviser les deux côtés par

3

\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{πn}{3}

Simplifier

\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{πn}{3}

Simplifier

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Diviser les nombres :

\frac{3}{3} = 1

= x

Simplifier

\frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{πn}{3} : \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{π}{2}}{3} = \frac{π}{6}

\frac{\frac{π}{2}}{3}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 3}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 3 = 6

= \frac{π}{6}

= \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

x > \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

x > \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

x > \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

3 x < \frac{5 π}{6} + πn : x < \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

3 x < \frac{5 π}{6} + πn

Diviser les deux côtés par

3

3 x < \frac{5 π}{6} + πn

Diviser les deux côtés par

3

\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

Simplifier

\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

Simplifier

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Diviser les nombres :

\frac{3}{3} = 1

= x

Simplifier

\frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3} : \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{5 π}{6}}{3} = \frac{5 π}{18}

\frac{\frac{5 π}{6}}{3}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 π}{6 \cdot 3}

Multiplier les nombres :

6 \cdot 3 = 18

= \frac{5 π}{18}

= \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

x < \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

x < \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

x < \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

Réunir les intervalles

x > \frac{π}{6} + \frac{π}{3} n and x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

\frac{π}{6} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

\frac{π}{6} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

Exemples populaires

sin(3x)<= 1/3

tan(t)<-1/(sqrt(3))

sin(x)>= 1/2 ,0<= x<= 2pi

2cos(x)+2>= 2

(2*cos(x)-3)/(sin(x))>= 0