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Popolare Trigonometria >

sin(x)<= sin^2(x)<= (sqrt(3))/2 sin(x)

Soluzione

sin (x) \leq sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

Soluzione

x = π + 2 πn

Decimale

x = 3.14159 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

sin (x) \leq sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

a \leq u \leq b

allora

a \leq u and u \leq b

sin (x) \leq sin^{2} (x) and sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

sin (x) \leq sin^{2} (x) : x = \frac{π}{2} + 2 πn or - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

sin (x) \leq sin^{2} (x)

Sia:

u = sin (x)

u \leq u^{2}

u \leq u^{2} : u \leq 0 or u \geq 1

u \leq u^{2}

Riscrivere in forma standard

u \leq u^{2}

Sottrarre

u^{2}

da entrambi i lati

u - u^{2} \leq u^{2} - u^{2}

Semplificare

u - u^{2} \leq 0

u - u^{2} \leq 0

Fattorizza

u - u^{2} : - u (u - 1)

u - u^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= - uu + u

Fattorizzare dal termine comune

- u

= - u (u - 1)

- u (u - 1) \leq 0

Moltiplicare entrambi i lati per

- 1

(invertire l'ineguaglianza)

(- u (u - 1)) (- 1) \geq 0 \cdot (- 1)

Semplificare

u (u - 1) \geq 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

u (u - 1)

Trova i segni di

u

u = 0

u < 0

u > 0

Trova i segni di

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

u > 1

u > 1

Riassumere in una tabella:

u u - 1 u (u - 1) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

\geq 0

u < 0 or u = 0 or u = 1 or u > 1

Unire gli intervalli sovrapposti

u \leq 0 or u = 1 or u > 1

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u < 0

u = 0

u \leq 0

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u \leq 0

u = 1

u \leq 0 or u = 1

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u \leq 0 or u = 1

u > 1

u \leq 0 or u \geq 1

u \leq 0 or u \geq 1

u \leq 0 or u \geq 1

u \leq 0 or u \geq 1

Sostituire indietro

u = sin (x)

sin (x) \leq 0 or sin (x) \geq 1

sin (x) \leq 0 : - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

sin (x) \leq 0

Per

sin (x) \leq a

, se

- 1 < a < 1

allora

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn \leq x \leq arcsin (0) + 2 πn

Semplificare

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

Semplificare

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn \leq x \leq 0 + 2 πn

Semplificare

- π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

sin (x) \geq 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) \geq 1

Per

sin (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

allora

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (1) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (1) + 2 πn

Semplificare

arcsin (1) : \frac{π}{2}

arcsin (1)

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

Semplificare

π - arcsin (1) : \frac{π}{2}

π - arcsin (1)

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{2}

Semplificare

π - \frac{π}{2}

Converti l'elemento in frazione:

π = \frac{π 2}{2}

= \frac{π 2}{2} - \frac{π}{2}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 - π}{2}

Aggiungi elementi simili:

2 π - π = π

= \frac{π}{2}

= \frac{π}{2}

\frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

Semplificare

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Combina gli intervalli

- π + 2 πn \leq x \leq 2 πn or x = \frac{π}{2} + 2 πn

Unire gli intervalli sovrapposti

x = \frac{π}{2} + 2 πn or - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x) : 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

Sia:

u = sin (x)

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

u^{2} \leq \frac{3}{2} u : 0 \leq u \leq \frac{3}{2}

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

Riscrivere in forma standard

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

Sottrarre

\frac{3}{2} u

da entrambi i lati

u^{2} - \frac{3}{2} u \leq \frac{3}{2} u - \frac{3}{2} u

Semplificare

u^{2} - \frac{3}{2} u \leq 0

Moltiplica entrambi i lati per

2

u^{2} \cdot 2 - \frac{3}{2} u \cdot 2 \leq 0 \cdot 2

2 u^{2} - 3 u \leq 0

2 u^{2} - 3 u \leq 0

Fattorizza

2 u^{2} - 3 u : u (2 u - 3)

2 u^{2} - 3 u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - 3 u

Fattorizzare dal termine comune

u

= u (2 u - 1 \cdot 2 3)

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 2 = 2

= u (2 u - 3)

u (2 u - 3) \leq 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

u (2 u - 3)

Trova i segni di

u

u = 0

u < 0

u > 0

Trova i segni di

2 u - 3

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

2 u - 3 = 0

Aggiungi

3

ad entrambi i lati

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Semplificare

2 u = 3

2 u = 3

Dividere entrambi i lati per

2

2 u = 3

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Semplificare

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0 : u < \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

2 u - 3 < 0

Aggiungi

3

ad entrambi i lati

2 u - 3 + 3 < 0 + 3

Semplificare

2 u < 3

2 u < 3

Dividere entrambi i lati per

2

2 u < 3

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} < \frac{3}{2}

Semplificare

u < \frac{3}{2}

u < \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0 : u > \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

2 u - 3 > 0

Aggiungi

3

ad entrambi i lati

2 u - 3 + 3 > 0 + 3

Semplificare

2 u > 3

2 u > 3

Dividere entrambi i lati per

2

2 u > 3

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} > \frac{3}{2}

Semplificare

u > \frac{3}{2}

u > \frac{3}{2}

Riassumere in una tabella:

u 2 u - 3 u (2 u - 3) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < \frac{3}{2} + - - u = \frac{3}{2} + 00 u > \frac{3}{2} + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

\leq 0

u = 0 or 0 < u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

Unire gli intervalli sovrapposti

0 \leq u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u = 0

0 < u < \frac{3}{2}

0 \leq u < \frac{3}{2}

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

0 \leq u < \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

Sostituire indietro

u = sin (x)

0 \leq sin (x) \leq \frac{3}{2}

a \leq u \leq b

allora

a \leq u and u \leq b

0 \leq sin (x) and sin (x) \leq \frac{3}{2}

0 \leq sin (x) : 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

0 \leq sin (x)

Scambia i lati

sin (x) \geq 0

Per

sin (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

allora

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (0) + 2 πn

Semplificare

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

Semplificare

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Semplificare

2 πn \leq x \leq π + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2} : - \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2}

Per

sin (x) \leq a

, se

- 1 < a < 1

allora

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn

Semplificare

- π - arcsin (\frac{3}{2}) : - \frac{4 π}{3}

- π - arcsin (\frac{3}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{3}

Semplificare

- π - \frac{π}{3}

Converti l'elemento in frazione:

π = \frac{π 3}{3}

= - \frac{π 3}{3} - \frac{π}{3}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 - π}{3}

Aggiungi elementi simili:

- 3 π - π = - 4 π

= \frac{- 4 π}{3}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 π}{3}

= - \frac{4 π}{3}

Semplificare

arcsin (\frac{3}{2}) : \frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

- \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

Combina gli intervalli

2 πn \leq x \leq π + 2 πn and - \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

Unire gli intervalli sovrapposti

2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Combina gli intervalli

(x = \frac{π}{2} + 2 πn or - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn) and (2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn)

Unire gli intervalli sovrapposti

x = π + 2 πn

Esempi popolari

-1<= cos(x-pi/4)<= 1

- 1 \leq cos (x - \frac{π}{4}) \leq 1

sin(θ)=13\land 0<θ<pi^2,2θ

sin (θ) = 13 and 0 < θ < π^{2}, 2 θ

sin(7)(x)<sin(2)(x)+cos(7)(x)<cos(2)(x)

sin (7) (x) < sin (2) (x) + cos (7) (x) < cos (2) (x)

0<sin(x)<1

0 < sin (x) < 1

tan(θ)=-5/2 \land cos(θ)<0

tan (θ) = - \frac{5}{2} and cos (θ) < 0