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Popular Trigonometria >

cos(2x)=sin(x-pi/4)

Solução

cos (2 x) = sin (x - \frac{π}{4})

Solução

x = \frac{π}{4} + πn, x = 2 πn + \frac{11 π}{12}, x = 2 πn + \frac{19 π}{12}

Graus

x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 16 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 28 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

cos (2 x) = sin (x - \frac{π}{4})

Reeecreva usando identidades trigonométricas

cos (2 x) = sin (x - \frac{π}{4})

Reeecreva usando identidades trigonométricas

sin (x - \frac{π}{4})

Use a identidade de diferença de ângulos:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= sin (x) cos (\frac{π}{4}) - cos (x) sin (\frac{π}{4})

Simplificar

sin (x) cos (\frac{π}{4}) - cos (x) sin (\frac{π}{4}) : \frac{2 sin ( x ) - 2 cos ( x )}{2}

sin (x) cos (\frac{π}{4}) - cos (x) sin (\frac{π}{4})

sin (x) cos (\frac{π}{4}) = \frac{2 sin ( x )}{2}

sin (x) cos (\frac{π}{4})

Simplificar

cos (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} sin (x)

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

cos (x) sin (\frac{π}{4}) = \frac{2 cos ( x )}{2}

cos (x) sin (\frac{π}{4})

Simplificar

sin (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x)

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

= \frac{2 sin ( x )}{2} - \frac{2 cos ( x )}{2}

Aplicar a regra

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 sin ( x ) - 2 cos ( x )}{2}

= \frac{2 sin ( x ) - 2 cos ( x )}{2}

cos (2 x) = \frac{2 sin ( x ) - 2 cos ( x )}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( x ) - 2 cos ( x )}{2} : \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

\frac{2 sin ( x ) - 2 cos ( x )}{2}

Fatorar o termo comum

2

= \frac{2 ( sin ( x ) - cos ( x ) )}{2}

Cancelar

\frac{2 ( sin ( x ) - cos ( x ) )}{2} : \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

\frac{2 ( sin ( x ) - cos ( x ) )}{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{1}{2}} ( sin ( x ) - cos ( x ) )}{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{2 ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{1}} = \frac{1}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

Subtrair:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Aplicar as propriedades dos radicais:

2^{\frac{1}{2}} = 2

= \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

= \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

cos (2 x) = \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

cos (2 x) = \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

Subtrair

\frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

de ambos os lados

cos (2 x) - \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2} = 0

Simplificar

cos (2 x) - \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2} : \frac{2 cos ( 2 x ) - sin ( x ) + cos ( x )}{2}

cos (2 x) - \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

Converter para fração:

cos (2 x) = \frac{cos ( 2 x ) 2}{2}

= \frac{cos ( 2 x ) 2}{2} - \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( 2 x ) 2 - ( sin ( x ) - cos ( x ) )}{2}

Expandir

cos (2 x) 2 - (sin (x) - cos (x)) : cos (2 x) 2 - sin (x) + cos (x)

cos (2 x) 2 - (sin (x) - cos (x))

= 2 cos (2 x) - (sin (x) - cos (x))

- (sin (x) - cos (x)) : - sin (x) + cos (x)

- (sin (x) - cos (x))

Colocar os parênteses

= - (sin (x)) - (- cos (x))

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a, - (a) = - a

= - sin (x) + cos (x)

= cos (2 x) 2 - sin (x) + cos (x)

= \frac{2 cos ( 2 x ) - sin ( x ) + cos ( x )}{2}

\frac{2 cos ( 2 x ) - sin ( x ) + cos ( x )}{2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 cos (2 x) - sin (x) + cos (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

cos (x) - sin (x) + cos (2 x) 2

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= cos (x) - sin (x) + 2 (cos^{2} (x) - sin^{2} (x))

cos (x) - sin (x) + (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) 2 = 0

Fatorar

cos (x) - sin (x) + (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) 2 : (cos (x) - sin (x)) (2 (cos (x) + sin (x)) + 1)

cos (x) - sin (x) + (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) 2

Fatorar

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) : (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

= (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

= cos (x) - sin (x) + 2 (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

Reescrever como

= (cos (x) - sin (x)) (cos (x) + sin (x)) 2 + 1 \cdot (cos (x) - sin (x))

Fatorar o termo comum

(cos (x) - sin (x))

= (cos (x) - sin (x)) ((cos (x) + sin (x)) 2 + 1)

(cos (x) - sin (x)) (2 (cos (x) + sin (x)) + 1) = 0

Resolver cada parte separadamente

cos (x) - sin (x) = 0 or 2 (cos (x) + sin (x)) + 1 = 0

cos (x) - sin (x) = 0 : x = \frac{π}{4} + πn

cos (x) - sin (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

cos (x) - sin (x) = 0

Dividir ambos os lados por

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplificar

1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = 0

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

1 - tan (x) = 0

1 - tan (x) = 0

Mova

1

para o lado direito

1 - tan (x) = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

1 - tan (x) - 1 = 0 - 1

Simplificar

- tan (x) = - 1

- tan (x) = - 1

Dividir ambos os lados por

- 1

- tan (x) = - 1

Dividir ambos os lados por

- 1

\frac{- tan ( x )}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Simplificar

tan (x) = 1

tan (x) = 1

Soluções gerais para

tan (x) = 1

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

2 (cos (x) + sin (x)) + 1 = 0 : x = 2 πn + \frac{11 π}{12}, x = 2 πn + \frac{19 π}{12}

2 (cos (x) + sin (x)) + 1 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

2 (cos (x) + sin (x)) + 1

sin (x) + cos (x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

sin (x) + cos (x)

Reescrever como

= 2 (\frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} cos (x))

Utilizar a seguinte identidade trivial:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Utilizar a seguinte identidade trivial:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (x) + sin (\frac{π}{4}) cos (x))

Use a identidade de soma de ângulos:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= 2 sin (x + \frac{π}{4})

= 1 + 22 sin (x + \frac{π}{4})

1 + 22 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

22 = 2

1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Mova

1

para o lado direito

1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

Dividir ambos os lados por

2

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{2}

Soluções gerais para

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{2}

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x + \frac{π}{4} = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x + \frac{π}{4} = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Resolver

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{6} + 2 πn : x = 2 πn + \frac{11 π}{12}

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Mova

\frac{π}{4}

para o lado direito

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Subtrair

\frac{π}{4}

de ambos os lados

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Somar elementos similares:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= x

Simplificar

\frac{7 π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{11 π}{12}

\frac{7 π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Agrupar termos semelhantes

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{7 π}{6}

Mínimo múltiplo comum de

4, 6 : 12

4, 6

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Decomposição em fatores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

dividida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Decomposição em fatores primos de

6 : 2 \cdot 3

6

6

dividida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 3

Multiplique cada fator o maior número de vezes que ocorre ou em

4

ou em

6

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{π}{4} :

multiplique o numerador e o denominador por

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

Para

\frac{7 π}{6} :

multiplique o numerador e o denominador por

2

\frac{7 π}{6} = \frac{7 π 2}{6 \cdot 2} = \frac{14 π}{12}

= - \frac{π 3}{12} + \frac{14 π}{12}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 + 14 π}{12}

Somar elementos similares:

- 3 π + 14 π = 11 π

= 2 πn + \frac{11 π}{12}

x = 2 πn + \frac{11 π}{12}

x = 2 πn + \frac{11 π}{12}

x = 2 πn + \frac{11 π}{12}

Resolver

x + \frac{π}{4} = \frac{11 π}{6} + 2 πn : x = 2 πn + \frac{19 π}{12}

x + \frac{π}{4} = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Mova

\frac{π}{4}

para o lado direito

x + \frac{π}{4} = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Subtrair

\frac{π}{4}

de ambos os lados

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{11 π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{11 π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Somar elementos similares:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= x

Simplificar

\frac{11 π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{19 π}{12}

\frac{11 π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Agrupar termos semelhantes

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{11 π}{6}

Mínimo múltiplo comum de

4, 6 : 12

4, 6

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Decomposição em fatores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

dividida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Decomposição em fatores primos de

6 : 2 \cdot 3

6

6

dividida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 3

Multiplique cada fator o maior número de vezes que ocorre ou em

4

ou em

6

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{π}{4} :

multiplique o numerador e o denominador por

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

Para

\frac{11 π}{6} :

multiplique o numerador e o denominador por

2

\frac{11 π}{6} = \frac{11 π 2}{6 \cdot 2} = \frac{22 π}{12}

= - \frac{π 3}{12} + \frac{22 π}{12}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 + 22 π}{12}

Somar elementos similares:

- 3 π + 22 π = 19 π

= 2 πn + \frac{19 π}{12}

x = 2 πn + \frac{19 π}{12}

x = 2 πn + \frac{19 π}{12}

x = 2 πn + \frac{19 π}{12}

x = 2 πn + \frac{11 π}{12}, x = 2 πn + \frac{19 π}{12}

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{4} + πn, x = 2 πn + \frac{11 π}{12}, x = 2 πn + \frac{19 π}{12}

Gráfico

Exemplos populares

sin(2x+60)+sin(x+30)=0,0<= x<= 2pi