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Popular Trigonometria >

1/(cos(x))+sec^2(x)-1-cos(x)=0

Solução

\frac{1}{cos ( x )} + sec^{2} (x) - 1 - cos (x) = 0

Solução

x = π + 2 πn, x = 2 πn

Graus

x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

\frac{1}{cos ( x )} + sec^{2} (x) - 1 - cos (x) = 0

Simplificar

\frac{1}{cos ( x )} + sec^{2} (x) - 1 - cos (x) : \frac{1 + sec ^{2} ( x ) cos ( x ) - cos ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} + sec^{2} (x) - 1 - cos (x)

Converter para fração:

sec^{2} (x) = \frac{sec ^{2} ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}, 1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}, cos (x) = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} + \frac{sec ^{2} ( x ) cos ( x )}{cos ( x )} - \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} - \frac{cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sec ^{2} ( x ) cos ( x ) - 1 \cdot cos ( x ) - cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

1 + sec^{2} (x) cos (x) - 1 \cdot cos (x) - cos (x) cos (x) = 1 + sec^{2} (x) cos (x) - cos (x) - cos^{2} (x)

1 + sec^{2} (x) cos (x) - 1 \cdot cos (x) - cos (x) cos (x)

1 \cdot cos (x) = cos (x)

1 \cdot cos (x)

Multiplicar:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= cos (x)

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Somar:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= 1 + sec^{2} (x) cos (x) - cos (x) - cos^{2} (x)

= \frac{1 + sec ^{2} ( x ) cos ( x ) - cos ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

\frac{1 + sec ^{2} ( x ) cos ( x ) - cos ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 + sec^{2} (x) cos (x) - cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

1 - cos (x) - cos^{2} (x) + cos (x) sec^{2} (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= 1 - \frac{1}{sec ( x )} - (\frac{1}{sec ( x )})^{2} + \frac{1}{sec ( x )} sec^{2} (x)

Simplificar

1 - \frac{1}{sec ( x )} - (\frac{1}{sec ( x )})^{2} + \frac{1}{sec ( x )} sec^{2} (x) : 1 - \frac{1}{sec ( x )} - \frac{1}{sec ^{2} ( x )} + sec (x)

1 - \frac{1}{sec ( x )} - (\frac{1}{sec ( x )})^{2} + \frac{1}{sec ( x )} sec^{2} (x)

(\frac{1}{sec ( x )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sec ( x )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( x )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

\frac{1}{sec ( x )} sec^{2} (x) = sec (x)

\frac{1}{sec ( x )} sec^{2} (x)

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sec ^{2} ( x )}{sec ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot sec^{2} (x) = sec^{2} (x)

= \frac{sec ^{2} ( x )}{sec ( x )}

Eliminar o fator comum:

sec (x)

= sec (x)

= 1 - \frac{1}{sec ( x )} - \frac{1}{sec ^{2} ( x )} + sec (x)

= 1 - \frac{1}{sec ( x )} - \frac{1}{sec ^{2} ( x )} + sec (x)

1 - \frac{1}{sec ^{2} ( x )} - \frac{1}{sec ( x )} + sec (x) = 0

Usando o método de substituição

1 - \frac{1}{sec ^{2} ( x )} - \frac{1}{sec ( x )} + sec (x) = 0

Sea:

sec (x) = u

1 - \frac{1}{u ^{2}} - \frac{1}{u} + u = 0

1 - \frac{1}{u ^{2}} - \frac{1}{u} + u = 0 : u = - 1, u = 1

1 - \frac{1}{u ^{2}} - \frac{1}{u} + u = 0

Multiplicar pelo mínimo múltiplo comum

1 - \frac{1}{u ^{2}} - \frac{1}{u} + u = 0

Encontrar o mínimo múltiplo comum de

u^{2}, u : u^{2}

u^{2}, u

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

u^{2}

quanto em

u

= u^{2}

Multiplicar pelo mínimo múltiplo comum=

u^{2}

1 \cdot u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} u^{2} - \frac{1}{u} u^{2} + u u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Simplificar

1 \cdot u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} u^{2} - \frac{1}{u} u^{2} + u u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Simplificar

1 \cdot u^{2} : u^{2}

1 \cdot u^{2}

Multiplicar:

1 \cdot u^{2} = u^{2}

= u^{2}

Simplificar

- \frac{1}{u ^{2}} u^{2} : - 1

- \frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

Eliminar o fator comum:

u^{2}

= - 1

Simplificar

- \frac{1}{u} u^{2} : - u

- \frac{1}{u} u^{2}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u ^{2}}{u}

Multiplicar:

1 \cdot u^{2} = u^{2}

= - \frac{u ^{2}}{u}

Eliminar o fator comum:

u

= - u

Simplificar

u u^{2} : u^{3}

u u^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u u^{2} = u^{1 + 2}

= u^{1 + 2}

Somar:

1 + 2 = 3

= u^{3}

Simplificar

0 \cdot u^{2} : 0

0 \cdot u^{2}

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 0

u^{2} - 1 - u + u^{3} = 0

u^{2} - 1 - u + u^{3} = 0

u^{2} - 1 - u + u^{3} = 0

Resolver

u^{2} - 1 - u + u^{3} = 0 : u = - 1, u = 1

u^{2} - 1 - u + u^{3} = 0

Escrever na forma padrão

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{3} + u^{2} - u - 1 = 0

Fatorar

u^{3} + u^{2} - u - 1 : (u + 1)^{2} (u - 1)

u^{3} + u^{2} - u - 1

= (u^{3} + u^{2}) + (- u - 1)

Fatorar

- 1

- u - 1

- (u + 1)

- u - 1

Fatorar o termo comum

- 1

= - (u + 1)

Fatorar

u^{2}

u^{3} + u^{2}

u^{2} (u + 1)

u^{3} + u^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= u u^{2} + u^{2}

Fatorar o termo comum

u^{2}

= u^{2} (u + 1)

= - (u + 1) + u^{2} (u + 1)

Fatorar o termo comum

u + 1

= (u + 1) (u^{2} - 1)

Fatorar

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Reescrever

1

como

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u + 1) (u - 1)

Simplificar

= (u + 1)^{2} (u - 1)

(u + 1)^{2} (u - 1) = 0

Usando o princípio do fator zero: Se

ab = 0

então

a = 0

b = 0

u + 1 = 0 or u - 1 = 0

Resolver

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

u + 1 = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

Resolver

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

u - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

As soluções são

u = - 1, u = 1

u = - 1, u = 1

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

u = 0

Tomar o(s) denominador(es) de

1 - \frac{1}{u ^{2}} - \frac{1}{u} + u

e comparar com zero

Resolver

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Aplicar a regra

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

u = 0

Os seguintes pontos são indefinidos

u = 0

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

u = - 1, u = 1

Substituir na equação

u = sec (x)

sec (x) = - 1, sec (x) = 1

sec (x) = - 1, sec (x) = 1

sec (x) = - 1 : x = π + 2 πn

sec (x) = - 1

Soluções gerais para

sec (x) = - 1

sec (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

sec (x) = 1 : x = 2 πn

sec (x) = 1

Soluções gerais para

sec (x) = 1

sec (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Combinar toda as soluções

x = π + 2 πn, x = 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

tan(θ)=(sqrt(3))/3 ,180<= θ<= 360

tan (θ) = \frac{3}{3}, 18 0^{\circ} \leq θ \leq 36 0^{\circ}

7.5=5sin(pi/2 (x-2))+5

7.5 = 5 sin (\frac{π}{2} (x - 2)) + 5

2cos(θ)+2sqrt(3)=sqrt(3)

2 cos (θ) + 23 = 3

-2sqrt(2)=-4sin(2θ)

- 22 = - 4 sin (2 θ)

8cos(x)=4cos^2(x)+3

8 cos (x) = 4 cos^{2} (x) + 3