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Beliebt Trigonometrie >

sec(x)-tan(x)=2

Lösung

sec (x) - tan (x) = 2

Lösung

x = - 0.64350 \dots + 2 πn

Grad

x = - 36.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sec (x) - tan (x) = 2

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

sec (x) - tan (x) - 2 = 0

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 2 = 0

Vereinfache

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 2 : \frac{1 - sin ( x ) - 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 2

Ziehe Brüche zusammen

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{1 - sin ( x )}{cos ( x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{- sin ( x ) + 1}{cos ( x )} - 2

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 = \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 - sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( x ) - 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1 - sin ( x ) - 2 cos ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 - sin (x) - 2 cos (x) = 0

Füge

2 cos (x)

zu beiden Seiten hinzu

1 - sin (x) = 2 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(1 - sin (x))^{2} = (2 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(2 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

(1 - sin (x))^{2} - 4 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(1 - sin (x))^{2} - 4 cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 - sin (x))^{2} - 4 (1 - sin^{2} (x))

Vereinfache

(1 - sin (x))^{2} - 4 (1 - sin^{2} (x)) : 5 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 3

(1 - sin (x))^{2} - 4 (1 - sin^{2} (x))

(1 - sin (x))^{2} : 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Vereinfache

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x) : 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 4 (1 - sin^{2} (x))

Multipliziere aus

- 4 (1 - sin^{2} (x)) : - 4 + 4 sin^{2} (x)

- 4 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 4, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 4 \cdot 1 - (- 4) sin^{2} (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 4 \cdot 1 + 4 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= - 4 + 4 sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 4 + 4 sin^{2} (x)

Vereinfache

1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 4 + 4 sin^{2} (x) : 5 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 3

1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 4 + 4 sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2 sin (x) + sin^{2} (x) + 4 sin^{2} (x) + 1 - 4

Addiere gleiche Elemente:

sin^{2} (x) + 4 sin^{2} (x) = 5 sin^{2} (x)

= - 2 sin (x) + 5 sin^{2} (x) + 1 - 4

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

1 - 4 = - 3

= 5 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 3

= 5 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 3

= 5 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 3

- 3 - 2 sin (x) + 5 sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 3 - 2 sin (x) + 5 sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 3 - 2 u + 5 u^{2} = 0

- 3 - 2 u + 5 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{3}{5}

- 3 - 2 u + 5 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

5 u^{2} - 2 u - 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

5 u^{2} - 2 u - 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 5, b = - 2, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 3 )}{2 \cdot 5}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 3 )}{2 \cdot 5}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 5 (- 3) = 8

(- 2)^{2} - 4 \cdot 5 (- 3)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 5 \cdot 3 = 60

= 2^{2} + 60

2^{2} = 4

= 4 + 60

Addiere die Zahlen:

4 + 60 = 64

= 64

Faktorisiere die Zahl:

64 = 8^{2}

= 8^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

8^{2} = 8

= 8

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 8}{2 \cdot 5}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 8}{2 \cdot 5}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 8}{2 \cdot 5}

u = \frac{- ( - 2 ) + 8}{2 \cdot 5} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 8}{2 \cdot 5}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 8}{2 \cdot 5}

Addiere die Zahlen:

2 + 8 = 10

= \frac{10}{2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{10}{10}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 8}{2 \cdot 5} : - \frac{3}{5}

\frac{- ( - 2 ) - 8}{2 \cdot 5}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 8}{2 \cdot 5}

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 8 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 6}{10}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{3}{5}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = - \frac{3}{5}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{3}{5}

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{3}{5}

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = - \frac{3}{5} : x = arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{3}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{3}{5}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{3}{5}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

sec (x) - tan (x) = 2

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{2} + 2 πn :

Falsch

\frac{π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Setze

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

sec (x) - tan (x) = 2

ein, um zu lösen

sec (\frac{π}{2} + 2 π 1) - tan (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 2

Unbestimmt

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 π 1

sec (x) - tan (x) = 2

ein, um zu lösen

sec (arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 π 1) - tan (arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

2 = 2

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn :

Falsch

π + arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

sec (x) - tan (x) = 2

ein, um zu lösen

sec (π + arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) - tan (π + arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

- 2 = 2

\Rightarrow Falsch

x = arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 0.64350 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin((2pi(t+101.75))/(365))=-1

sin (\frac{2 π ( t + 101.75 )}{365}) = - 1

cos(θ)=-(sqrt(7))/5

cos (θ) = - \frac{7}{5}

sin(pi+x)=sin(x)

sin (π + x) = sin (x)

cos(x)=-2/pi

cos (x) = - \frac{2}{π}

5sin(x)=-3

5 sin (x) = - 3