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Beliebt Trigonometrie >

tan(x-45)-tan(x+45)=4

Lösung

tan (x - 4 5^{\circ}) - tan (x + 4 5^{\circ}) = 4

Lösung

x = 12 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 6 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Radianten

x = \frac{2 π}{3} + πn, x = \frac{π}{3} + πn

Schritte zur Lösung

tan (x - 4 5^{\circ}) - tan (x + 4 5^{\circ}) = 4

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

tan (x - 4 5^{\circ}) - tan (x + 4 5^{\circ}) = 4

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

tan (x - 4 5^{\circ})

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x - 4 5 ^{\circ} )}{cos ( x - 4 5 ^{\circ} )}

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= \frac{sin ( x ) cos ( 4 5 ^{\circ} ) - cos ( x ) sin ( 4 5 ^{\circ} )}{cos ( x - 4 5 ^{\circ} )}

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

= \frac{sin ( x ) cos ( 4 5 ^{\circ} ) - cos ( x ) sin ( 4 5 ^{\circ} )}{cos ( x ) cos ( 4 5 ^{\circ} ) + sin ( x ) sin ( 4 5 ^{\circ} )}

Vereinfache

\frac{sin ( x ) cos ( 4 5 ^{\circ} ) - cos ( x ) sin ( 4 5 ^{\circ} )}{cos ( x ) cos ( 4 5 ^{\circ} ) + sin ( x ) sin ( 4 5 ^{\circ} )} : \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )}

\frac{sin ( x ) cos ( 4 5 ^{\circ} ) - cos ( x ) sin ( 4 5 ^{\circ} )}{cos ( x ) cos ( 4 5 ^{\circ} ) + sin ( x ) sin ( 4 5 ^{\circ} )}

sin (x) cos (4 5^{\circ}) - cos (x) sin (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2} sin (x) - \frac{2}{2} cos (x)

sin (x) cos (4 5^{\circ}) - cos (x) sin (4 5^{\circ})

Vereinfache

cos (4 5^{\circ}) : \frac{2}{2}

cos (4 5^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} sin (x) - sin (4 5^{\circ}) cos (x)

Vereinfache

sin (4 5^{\circ}) : \frac{2}{2}

sin (4 5^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} sin (x) - \frac{2}{2} cos (x)

= \frac{\frac{2}{2} sin ( x ) - \frac{2}{2} cos ( x )}{cos ( 4 5 ^{\circ} ) cos ( x ) + sin ( 4 5 ^{\circ} ) sin ( x )}

cos (x) cos (4 5^{\circ}) + sin (x) sin (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2} cos (x) + \frac{2}{2} sin (x)

cos (x) cos (4 5^{\circ}) + sin (x) sin (4 5^{\circ})

Vereinfache

cos (4 5^{\circ}) : \frac{2}{2}

cos (4 5^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x) + sin (4 5^{\circ}) sin (x)

Vereinfache

sin (4 5^{\circ}) : \frac{2}{2}

sin (4 5^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x) + \frac{2}{2} sin (x)

= \frac{\frac{2}{2} sin ( x ) - \frac{2}{2} cos ( x )}{\frac{2}{2} cos ( x ) + \frac{2}{2} sin ( x )}

Multipliziere

cos (x) \frac{2}{2} : \frac{2 cos ( x )}{2}

cos (x) \frac{2}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

= \frac{\frac{2}{2} sin ( x ) - \frac{2}{2} cos ( x )}{\frac{2 c o s ( x )}{2} + \frac{2}{2} sin ( x )}

Multipliziere

sin (x) \frac{2}{2} : \frac{2 sin ( x )}{2}

sin (x) \frac{2}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2}{2} sin ( x ) - \frac{2}{2} cos ( x )}{\frac{2 c o s ( x )}{2} + \frac{2 s i n ( x )}{2}}

Multipliziere

sin (x) \frac{2}{2} : \frac{2 sin ( x )}{2}

sin (x) \frac{2}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 s i n ( x )}{2} - \frac{2}{2} cos ( x )}{\frac{2 c o s ( x )}{2} + \frac{2 s i n ( x )}{2}}

Multipliziere

cos (x) \frac{2}{2} : \frac{2 cos ( x )}{2}

cos (x) \frac{2}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 s i n ( x )}{2} - \frac{2 c o s ( x )}{2}}{\frac{2 c o s ( x )}{2} + \frac{2 s i n ( x )}{2}}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{2 cos ( x )}{2} + \frac{2 sin ( x )}{2} : \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 s i n ( x )}{2} - \frac{2 c o s ( x )}{2}}{\frac{2 c o s ( x ) + 2 s i n ( x )}{2}}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{2 sin ( x )}{2} - \frac{2 cos ( x )}{2} : \frac{2 sin ( x ) - 2 cos ( x )}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 sin ( x ) - 2 cos ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 s i n ( x ) - 2 c o s ( x )}{2}}{\frac{2 c o s ( x ) + 2 s i n ( x )}{2}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( 2 sin ( x ) - 2 cos ( x ) ) \cdot 2}{2 ( 2 cos ( x ) + 2 sin ( x ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 sin ( x ) - 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}

Klammere gleiche Terme aus

2

= \frac{2 ( sin ( x ) - cos ( x ) )}{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}

Klammere gleiche Terme aus

2

= \frac{2 ( sin ( x ) - cos ( x ) )}{2 ( cos ( x ) + sin ( x ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )}

= \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x + 4 5 ^{\circ} )}{cos ( x + 4 5 ^{\circ} )}

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= \frac{sin ( x ) cos ( 4 5 ^{\circ} ) + cos ( x ) sin ( 4 5 ^{\circ} )}{cos ( x + 4 5 ^{\circ} )}

Benutze die Identität der Winkelsumme:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= \frac{sin ( x ) cos ( 4 5 ^{\circ} ) + cos ( x ) sin ( 4 5 ^{\circ} )}{cos ( x ) cos ( 4 5 ^{\circ} ) - sin ( x ) sin ( 4 5 ^{\circ} )}

Vereinfache

\frac{sin ( x ) cos ( 4 5 ^{\circ} ) + cos ( x ) sin ( 4 5 ^{\circ} )}{cos ( x ) cos ( 4 5 ^{\circ} ) - sin ( x ) sin ( 4 5 ^{\circ} )} : \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

\frac{sin ( x ) cos ( 4 5 ^{\circ} ) + cos ( x ) sin ( 4 5 ^{\circ} )}{cos ( x ) cos ( 4 5 ^{\circ} ) - sin ( x ) sin ( 4 5 ^{\circ} )}

sin (x) cos (4 5^{\circ}) + cos (x) sin (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2} sin (x) + \frac{2}{2} cos (x)

sin (x) cos (4 5^{\circ}) + cos (x) sin (4 5^{\circ})

Vereinfache

cos (4 5^{\circ}) : \frac{2}{2}

cos (4 5^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} sin (x) + sin (4 5^{\circ}) cos (x)

Vereinfache

sin (4 5^{\circ}) : \frac{2}{2}

sin (4 5^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} sin (x) + \frac{2}{2} cos (x)

= \frac{\frac{2}{2} sin ( x ) + \frac{2}{2} cos ( x )}{cos ( 4 5 ^{\circ} ) cos ( x ) - sin ( 4 5 ^{\circ} ) sin ( x )}

cos (x) cos (4 5^{\circ}) - sin (x) sin (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2} cos (x) - \frac{2}{2} sin (x)

cos (x) cos (4 5^{\circ}) - sin (x) sin (4 5^{\circ})

Vereinfache

cos (4 5^{\circ}) : \frac{2}{2}

cos (4 5^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x) - sin (4 5^{\circ}) sin (x)

Vereinfache

sin (4 5^{\circ}) : \frac{2}{2}

sin (4 5^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x) - \frac{2}{2} sin (x)

= \frac{\frac{2}{2} sin ( x ) + \frac{2}{2} cos ( x )}{\frac{2}{2} cos ( x ) - \frac{2}{2} sin ( x )}

Multipliziere

cos (x) \frac{2}{2} : \frac{2 cos ( x )}{2}

cos (x) \frac{2}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

= \frac{\frac{2}{2} sin ( x ) + \frac{2}{2} cos ( x )}{\frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2}{2} sin ( x )}

Multipliziere

sin (x) \frac{2}{2} : \frac{2 sin ( x )}{2}

sin (x) \frac{2}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2}{2} sin ( x ) + \frac{2}{2} cos ( x )}{\frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2 s i n ( x )}{2}}

Multipliziere

sin (x) \frac{2}{2} : \frac{2 sin ( x )}{2}

sin (x) \frac{2}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 s i n ( x )}{2} + \frac{2}{2} cos ( x )}{\frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2 s i n ( x )}{2}}

Multipliziere

cos (x) \frac{2}{2} : \frac{2 cos ( x )}{2}

cos (x) \frac{2}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 s i n ( x )}{2} + \frac{2 c o s ( x )}{2}}{\frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2 s i n ( x )}{2}}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{2 cos ( x )}{2} - \frac{2 sin ( x )}{2} : \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 s i n ( x )}{2} + \frac{2 c o s ( x )}{2}}{\frac{2 c o s ( x ) - 2 s i n ( x )}{2}}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{2 sin ( x )}{2} + \frac{2 cos ( x )}{2} : \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 s i n ( x ) + 2 c o s ( x )}{2}}{\frac{2 c o s ( x ) - 2 s i n ( x )}{2}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( 2 sin ( x ) + 2 cos ( x ) ) \cdot 2}{2 ( 2 cos ( x ) - 2 sin ( x ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}

Klammere gleiche Terme aus

2

= \frac{2 ( sin ( x ) + cos ( x ) )}{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}

Klammere gleiche Terme aus

2

= \frac{2 ( sin ( x ) + cos ( x ) )}{2 ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

= \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

\frac{sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )} - \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )} = 4

Vereinfache

\frac{sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )} - \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )} : \frac{- 2 sin ^{2} ( x ) - 2 cos ^{2} ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

\frac{sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )} - \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

cos (x) + sin (x), cos (x) - sin (x) : (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

cos (x) + sin (x), cos (x) - sin (x)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

cos (x) + sin (x)

oder

cos (x) - sin (x)

auftauchen.

= (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

(cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

Für

\frac{sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos (x) - sin (x)

\frac{sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )} = \frac{( sin ( x ) - cos ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Für

\frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos (x) + sin (x)

\frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )} = \frac{( sin ( x ) + cos ( x ) ) ( cos ( x ) + sin ( x ) )}{( cos ( x ) - sin ( x ) ) ( cos ( x ) + sin ( x ) )} = \frac{( sin ( x ) + cos ( x ) ) ^{2}}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

= \frac{( sin ( x ) - cos ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )} - \frac{( sin ( x ) + cos ( x ) ) ^{2}}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{( sin ( x ) - cos ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) - ( sin ( x ) + cos ( x ) ) ^{2}}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Multipliziere aus

(sin (x) - cos (x)) (cos (x) - sin (x)) - (sin (x) + cos (x))^{2} : - 2 sin^{2} (x) - 2 cos^{2} (x)

(sin (x) - cos (x)) (cos (x) - sin (x)) - (sin (x) + cos (x))^{2}

(sin (x) + cos (x))^{2} : sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) + cos^{2} (x)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = sin (x), b = cos (x)

= sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) + cos^{2} (x)

= (sin (x) - cos (x)) (cos (x) - sin (x)) - (sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) + cos^{2} (x))

Multipliziere aus

(sin (x) - cos (x)) (cos (x) - sin (x)) : 2 cos (x) sin (x) - sin^{2} (x) - cos^{2} (x)

(sin (x) - cos (x)) (cos (x) - sin (x))

Wende Ausklammerungsregel an (VANI):

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

a = sin (x), b = - cos (x), c = cos (x), d = - sin (x)

= sin (x) cos (x) + sin (x) (- sin (x)) + (- cos (x)) cos (x) + (- cos (x)) (- sin (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a, (- a) (- b) = ab

= sin (x) cos (x) - sin (x) sin (x) - cos (x) cos (x) + cos (x) sin (x)

Vereinfache

sin (x) cos (x) - sin (x) sin (x) - cos (x) cos (x) + cos (x) sin (x) : 2 cos (x) sin (x) - sin^{2} (x) - cos^{2} (x)

sin (x) cos (x) - sin (x) sin (x) - cos (x) cos (x) + cos (x) sin (x)

Addiere gleiche Elemente:

sin (x) cos (x) + cos (x) sin (x) = 2 cos (x) sin (x)

= 2 cos (x) sin (x) - sin (x) sin (x) - cos (x) cos (x)

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= 2 cos (x) sin (x) - sin^{2} (x) - cos^{2} (x)

= 2 cos (x) sin (x) - sin^{2} (x) - cos^{2} (x)

= 2 cos (x) sin (x) - sin^{2} (x) - cos^{2} (x) - (sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) + cos^{2} (x))

- (sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) + cos^{2} (x)) : - sin^{2} (x) - 2 sin (x) cos (x) - cos^{2} (x)

- (sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) + cos^{2} (x))

Setze Klammern

= - (sin^{2} (x)) - (2 sin (x) cos (x)) - (cos^{2} (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - sin^{2} (x) - 2 sin (x) cos (x) - cos^{2} (x)

= 2 cos (x) sin (x) - sin^{2} (x) - cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - 2 sin (x) cos (x) - cos^{2} (x)

Vereinfache

2 cos (x) sin (x) - sin^{2} (x) - cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - 2 sin (x) cos (x) - cos^{2} (x) : - 2 sin^{2} (x) - 2 cos^{2} (x)

2 cos (x) sin (x) - sin^{2} (x) - cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - 2 sin (x) cos (x) - cos^{2} (x)

Addiere gleiche Elemente:

2 cos (x) sin (x) - 2 sin (x) cos (x) = 0

= - sin^{2} (x) - cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - cos^{2} (x)

Addiere gleiche Elemente:

- cos^{2} (x) - cos^{2} (x) = - 2 cos^{2} (x)

= - sin^{2} (x) - 2 cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

Addiere gleiche Elemente:

- sin^{2} (x) - sin^{2} (x) = - 2 sin^{2} (x)

= - 2 sin^{2} (x) - 2 cos^{2} (x)

= - 2 sin^{2} (x) - 2 cos^{2} (x)

= \frac{- 2 sin ^{2} ( x ) - 2 cos ^{2} ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

\frac{- 2 sin ^{2} ( x ) - 2 cos ^{2} ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )} = 4

\frac{- 2 sin ^{2} ( x ) - 2 cos ^{2} ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )} = 4

Subtrahiere

4

von beiden Seiten

\frac{- 2 sin ^{2} ( x ) - 2 cos ^{2} ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )} - 4 = 0

Vereinfache

\frac{- 2 sin ^{2} ( x ) - 2 cos ^{2} ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )} - 4 : \frac{2 sin ^{2} ( x ) - 6 cos ^{2} ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

\frac{- 2 sin ^{2} ( x ) - 2 cos ^{2} ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )} - 4

Wandle das Element in einen Bruch um:

4 = \frac{4 ( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

= \frac{- 2 sin ^{2} ( x ) - 2 cos ^{2} ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )} - \frac{4 ( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 2 sin ^{2} ( x ) - 2 cos ^{2} ( x ) - 4 ( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Multipliziere aus

- 2 sin^{2} (x) - 2 cos^{2} (x) - 4 (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x)) : 2 sin^{2} (x) - 6 cos^{2} (x)

- 2 sin^{2} (x) - 2 cos^{2} (x) - 4 (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

Multipliziere aus

- 4 (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x)) : - 4 cos^{2} (x) + 4 sin^{2} (x)

Multipliziere aus

(cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x)) : cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

(cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = cos (x), b = sin (x)

= cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= - 4 (cos^{2} (x) - sin^{2} (x))

Multipliziere aus

- 4 (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) : - 4 cos^{2} (x) + 4 sin^{2} (x)

- 4 (cos^{2} (x) - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 4, b = cos^{2} (x), c = sin^{2} (x)

= - 4 cos^{2} (x) - (- 4) sin^{2} (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 4 cos^{2} (x) + 4 sin^{2} (x)

= - 4 cos^{2} (x) + 4 sin^{2} (x)

= - 2 sin^{2} (x) - 2 cos^{2} (x) - 4 cos^{2} (x) + 4 sin^{2} (x)

Vereinfache

- 2 sin^{2} (x) - 2 cos^{2} (x) - 4 cos^{2} (x) + 4 sin^{2} (x) : 2 sin^{2} (x) - 6 cos^{2} (x)

- 2 sin^{2} (x) - 2 cos^{2} (x) - 4 cos^{2} (x) + 4 sin^{2} (x)

Addiere gleiche Elemente:

- 2 cos^{2} (x) - 4 cos^{2} (x) = - 6 cos^{2} (x)

= - 2 sin^{2} (x) - 6 cos^{2} (x) + 4 sin^{2} (x)

Addiere gleiche Elemente:

- 2 sin^{2} (x) + 4 sin^{2} (x) = 2 sin^{2} (x)

= 2 sin^{2} (x) - 6 cos^{2} (x)

= 2 sin^{2} (x) - 6 cos^{2} (x)

= \frac{2 sin ^{2} ( x ) - 6 cos ^{2} ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 6 cos ^{2} ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 sin^{2} (x) - 6 cos^{2} (x) = 0

Faktorisiere

2 sin^{2} (x) - 6 cos^{2} (x) : 2 (sin (x) + 3 cos (x)) (sin (x) - 3 cos (x))

2 sin^{2} (x) - 6 cos^{2} (x)

Schreibe

- 6

um:

3 \cdot 2

= 2 sin^{2} (x) + 3 \cdot 2 cos^{2} (x)

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x))

Faktorisiere

sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) : (sin (x) + 3 cos (x)) (sin (x) - 3 cos (x))

sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x)

Schreibe

sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x)

um:

sin^{2} (x) - (3 cos (x))^{2}

sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x)

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= sin^{2} (x) - (3)^{2} cos^{2} (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(3)^{2} cos^{2} (x) = (3 cos (x))^{2}

= sin^{2} (x) - (3 cos (x))^{2}

= sin^{2} (x) - (3 cos (x))^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (x) - (3 cos (x))^{2} = (sin (x) + 3 cos (x)) (sin (x) - 3 cos (x))

= (sin (x) + 3 cos (x)) (sin (x) - 3 cos (x))

= 2 (sin (x) + 3 cos (x)) (sin (x) - 3 cos (x))

2 (sin (x) + 3 cos (x)) (sin (x) - 3 cos (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (x) + 3 cos (x) = 0 or sin (x) - 3 cos (x) = 0

sin (x) + 3 cos (x) = 0 : x = 12 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

sin (x) + 3 cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (x) + 3 cos (x) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) + 3 cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Vereinfache

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 3 = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) + 3 = 0

tan (x) + 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

tan (x) + 3 = 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

tan (x) + 3 - 3 = 0 - 3

Vereinfache

tan (x) = - 3

tan (x) = - 3

Allgemeine Lösung für

tan (x) = - 3

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

18 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = 12 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

x = 12 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

sin (x) - 3 cos (x) = 0 : x = 6 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

sin (x) - 3 cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (x) - 3 cos (x) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) - 3 cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Vereinfache

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 3 = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) - 3 = 0

tan (x) - 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

tan (x) - 3 = 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

tan (x) - 3 + 3 = 0 + 3

Vereinfache

tan (x) = 3

tan (x) = 3

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 3

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

18 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = 6 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

x = 6 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Kombiniere alle Lösungen

x = 12 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 6 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Graph

Beliebte Beispiele

sin(2x)=10cos(x)

sin (2 x) = 10 cos (x)

3-4sin(θ)=4-6sin(θ)

3 - 4 sin (θ) = 4 - 6 sin (θ)

tan(x)=-1.036

tan (x) = - 1.036

tan(2x)= 24/7

tan (2 x) = \frac{24}{7}

solvefor x,80=75-60cos(([pi*x])/(15))

so l v e f or x, 80 = 75 - 60 cos (\frac{[ π \cdot x ]}{15})