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Beliebt Trigonometrie >

12cos(β)-5sin(β)=4.7

Lösung

12 cos (β) - 5 sin (β) = 4.7

Lösung

β = π + 1.54592 \dots + 2 πn, β = 0.80608 \dots + 2 πn

Grad

β = 268.57484 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, β = 46.18542 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

12 cos (β) - 5 sin (β) = 4.7

Füge

5 sin (β)

zu beiden Seiten hinzu

12 cos (β) = 4.7 + 5 sin (β)

Quadriere beide Seiten

(12 cos (β))^{2} = (4.7 + 5 sin (β))^{2}

Subtrahiere

(4.7 + 5 sin (β))^{2}

von beiden Seiten

144 cos^{2} (β) - 22.09 - 47 sin (β) - 25 sin^{2} (β) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 22.09 + 144 cos^{2} (β) - 25 sin^{2} (β) - 47 sin (β)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 22.09 + 144 (1 - sin^{2} (β)) - 25 sin^{2} (β) - 47 sin (β)

Vereinfache

- 22.09 + 144 (1 - sin^{2} (β)) - 25 sin^{2} (β) - 47 sin (β) : - 169 sin^{2} (β) - 47 sin (β) + 121.91

- 22.09 + 144 (1 - sin^{2} (β)) - 25 sin^{2} (β) - 47 sin (β)

Multipliziere aus

144 (1 - sin^{2} (β)) : 144 - 144 sin^{2} (β)

144 (1 - sin^{2} (β))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 144, b = 1, c = sin^{2} (β)

= 144 \cdot 1 - 144 sin^{2} (β)

Multipliziere die Zahlen:

144 \cdot 1 = 144

= 144 - 144 sin^{2} (β)

= - 22.09 + 144 - 144 sin^{2} (β) - 25 sin^{2} (β) - 47 sin (β)

Vereinfache

- 22.09 + 144 - 144 sin^{2} (β) - 25 sin^{2} (β) - 47 sin (β) : - 169 sin^{2} (β) - 47 sin (β) + 121.91

- 22.09 + 144 - 144 sin^{2} (β) - 25 sin^{2} (β) - 47 sin (β)

Addiere gleiche Elemente:

- 144 sin^{2} (β) - 25 sin^{2} (β) = - 169 sin^{2} (β)

= - 22.09 + 144 - 169 sin^{2} (β) - 47 sin (β)

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 22.09 + 144 = 121.91

= - 169 sin^{2} (β) - 47 sin (β) + 121.91

= - 169 sin^{2} (β) - 47 sin (β) + 121.91

= - 169 sin^{2} (β) - 47 sin (β) + 121.91

121.91 - 169 sin^{2} (β) - 47 sin (β) = 0

Löse mit Substitution

121.91 - 169 sin^{2} (β) - 47 sin (β) = 0

Angenommen:

sin (β) = u

121.91 - 169 u^{2} - 47 u = 0

121.91 - 169 u^{2} - 47 u = 0 : u = - \frac{4700 + 846201600}{33800}, u = \frac{846201600 - 4700}{33800}

121.91 - 169 u^{2} - 47 u = 0

Multipliziere beide Seiten mit

100

121.91 - 169 u^{2} - 47 u = 0

To eliminate decimal points, multiply by 10 for every digit after the decimal pointThere are

2

digits to the right of the decimal point, therefore multiply by

100

121.91 \cdot 100 - 169 u^{2} \cdot 100 - 47 u \cdot 100 = 0 \cdot 100

Fasse zusammen

12191 - 16900 u^{2} - 4700 u = 0

12191 - 16900 u^{2} - 4700 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 16900 u^{2} - 4700 u + 12191 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 16900 u^{2} - 4700 u + 12191 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 16900, b = - 4700, c = 12191

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4700 ) \pm ( - 4700 ) ^{2} - 4 ( - 16900 ) \cdot 12191}{2 ( - 16900 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4700 ) \pm ( - 4700 ) ^{2} - 4 ( - 16900 ) \cdot 12191}{2 ( - 16900 )}

(- 4700)^{2} - 4 (- 16900) \cdot 12191 = 846201600

(- 4700)^{2} - 4 (- 16900) \cdot 12191

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 4700)^{2} + 4 \cdot 16900 \cdot 12191

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4700)^{2} = 470 0^{2}

= 470 0^{2} + 4 \cdot 16900 \cdot 12191

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 16900 \cdot 12191 = 824111600

= 470 0^{2} + 824111600

470 0^{2} = 22090000

= 22090000 + 824111600

Addiere die Zahlen:

22090000 + 824111600 = 846201600

= 846201600

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4700 ) \pm 846201600}{2 ( - 16900 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 4700 ) + 846201600}{2 ( - 16900 )}, u_{2} = \frac{- ( - 4700 ) - 846201600}{2 ( - 16900 )}

u = \frac{- ( - 4700 ) + 846201600}{2 ( - 16900 )} : - \frac{4700 + 846201600}{33800}

\frac{- ( - 4700 ) + 846201600}{2 ( - 16900 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4700 + 846201600}{- 2 \cdot 16900}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 16900 = 33800

= \frac{4700 + 846201600}{- 33800}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4700 + 846201600}{33800}

u = \frac{- ( - 4700 ) - 846201600}{2 ( - 16900 )} : \frac{846201600 - 4700}{33800}

\frac{- ( - 4700 ) - 846201600}{2 ( - 16900 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4700 - 846201600}{- 2 \cdot 16900}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 16900 = 33800

= \frac{4700 - 846201600}{- 33800}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

4700 - 846201600 = - (846201600 - 4700)

= \frac{846201600 - 4700}{33800}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{4700 + 846201600}{33800}, u = \frac{846201600 - 4700}{33800}

Setze in

u = sin (β)

ein

sin (β) = - \frac{4700 + 846201600}{33800}, sin (β) = \frac{846201600 - 4700}{33800}

sin (β) = - \frac{4700 + 846201600}{33800}, sin (β) = \frac{846201600 - 4700}{33800}

sin (β) = - \frac{4700 + 846201600}{33800} : β = arcsin (- \frac{4700 + 846201600}{33800}) + 2 πn, β = π + arcsin (\frac{4700 + 846201600}{33800}) + 2 πn

sin (β) = - \frac{4700 + 846201600}{33800}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (β) = - \frac{4700 + 846201600}{33800}

Allgemeine Lösung für

sin (β) = - \frac{4700 + 846201600}{33800}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

β = arcsin (- \frac{4700 + 846201600}{33800}) + 2 πn, β = π + arcsin (\frac{4700 + 846201600}{33800}) + 2 πn

β = arcsin (- \frac{4700 + 846201600}{33800}) + 2 πn, β = π + arcsin (\frac{4700 + 846201600}{33800}) + 2 πn

sin (β) = \frac{846201600 - 4700}{33800} : β = arcsin (\frac{846201600 - 4700}{33800}) + 2 πn, β = π - arcsin (\frac{846201600 - 4700}{33800}) + 2 πn

sin (β) = \frac{846201600 - 4700}{33800}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (β) = \frac{846201600 - 4700}{33800}

Allgemeine Lösung für

sin (β) = \frac{846201600 - 4700}{33800}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

β = arcsin (\frac{846201600 - 4700}{33800}) + 2 πn, β = π - arcsin (\frac{846201600 - 4700}{33800}) + 2 πn

β = arcsin (\frac{846201600 - 4700}{33800}) + 2 πn, β = π - arcsin (\frac{846201600 - 4700}{33800}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

β = arcsin (- \frac{4700 + 846201600}{33800}) + 2 πn, β = π + arcsin (\frac{4700 + 846201600}{33800}) + 2 πn, β = arcsin (\frac{846201600 - 4700}{33800}) + 2 πn, β = π - arcsin (\frac{846201600 - 4700}{33800}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

12 cos (β) - 5 sin (β) = 4.7

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{4700 + 846201600}{33800}) + 2 πn :

Falsch

arcsin (- \frac{4700 + 846201600}{33800}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{4700 + 846201600}{33800}) + 2 π 1

Setze

β = arcsin (- \frac{4700 + 846201600}{33800}) + 2 π 1

12 cos (β) - 5 sin (β) = 4.7

ein, um zu lösen

12 cos (arcsin (- \frac{4700 + 846201600}{33800}) + 2 π 1) - 5 sin (arcsin (- \frac{4700 + 846201600}{33800}) + 2 π 1) = 4.7

Fasse zusammen

5.29690 \dots = 4.7

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{4700 + 846201600}{33800}) + 2 πn :

Wahr

π + arcsin (\frac{4700 + 846201600}{33800}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{4700 + 846201600}{33800}) + 2 π 1

Setze

β = π + arcsin (\frac{4700 + 846201600}{33800}) + 2 π 1

12 cos (β) - 5 sin (β) = 4.7

ein, um zu lösen

12 cos (π + arcsin (\frac{4700 + 846201600}{33800}) + 2 π 1) - 5 sin (π + arcsin (\frac{4700 + 846201600}{33800}) + 2 π 1) = 4.7

Fasse zusammen

4.7 = 4.7

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{846201600 - 4700}{33800}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{846201600 - 4700}{33800}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{846201600 - 4700}{33800}) + 2 π 1

Setze

β = arcsin (\frac{846201600 - 4700}{33800}) + 2 π 1

12 cos (β) - 5 sin (β) = 4.7

ein, um zu lösen

12 cos (arcsin (\frac{846201600 - 4700}{33800}) + 2 π 1) - 5 sin (arcsin (\frac{846201600 - 4700}{33800}) + 2 π 1) = 4.7

Fasse zusammen

4.7 = 4.7

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{846201600 - 4700}{33800}) + 2 πn :

Falsch

π - arcsin (\frac{846201600 - 4700}{33800}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{846201600 - 4700}{33800}) + 2 π 1

Setze

β = π - arcsin (\frac{846201600 - 4700}{33800}) + 2 π 1

12 cos (β) - 5 sin (β) = 4.7

ein, um zu lösen

12 cos (π - arcsin (\frac{846201600 - 4700}{33800}) + 2 π 1) - 5 sin (π - arcsin (\frac{846201600 - 4700}{33800}) + 2 π 1) = 4.7

Fasse zusammen

- 11.91584 \dots = 4.7

\Rightarrow Falsch

β = π + arcsin (\frac{4700 + 846201600}{33800}) + 2 πn, β = arcsin (\frac{846201600 - 4700}{33800}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

β = π + 1.54592 \dots + 2 πn, β = 0.80608 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(x)=(sqrt(8))/3

cos (x) = \frac{8}{3}

arctan(θ)= 6/8

arctan (θ) = \frac{6}{8}

4cos^2(x)-7cos(x)+3=0

4 cos^{2} (x) - 7 cos (x) + 3 = 0

tan(θ)=(-4/3-(-11/3))/(1+(-4/3)(-11/3))

tan (θ) = \frac{- \frac{4}{3} - ( - \frac{11}{3} )}{1 + ( - \frac{4}{3} ) ( - \frac{11}{3} )}

8+2cot(x)=12

8 + 2 cot (x) = 12