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Beliebt Trigonometrie >

sin(x)-sqrt(3)cos(x)=1,0<= x<2pi

Lösung

sin (x) - 3 cos (x) = 1, 0 \leq x < 2 π

Lösung

x = \frac{7 π}{6}, x = \frac{π}{2}

Grad

x = 21 0^{\circ}, x = 9 0^{\circ}

Schritte zur Lösung

sin (x) - 3 cos (x) = 1, 0 \leq x < 2 π

Füge

3 cos (x)

zu beiden Seiten hinzu

sin (x) = 1 + 3 cos (x)

Quadriere beide Seiten

sin^{2} (x) = (1 + 3 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(1 + 3 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

sin^{2} (x) - 1 - 23 cos (x) - 3 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) - 2 cos (x) 3

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= - 3 cos^{2} (x) - 23 cos (x) - cos^{2} (x)

Vereinfache

= - 4 cos^{2} (x) - 23 cos (x)

- 4 cos^{2} (x) - 2 cos (x) 3 = 0

Löse mit Substitution

- 4 cos^{2} (x) - 2 cos (x) 3 = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 4 u^{2} - 2 u 3 = 0

- 4 u^{2} - 2 u 3 = 0 : u = - \frac{3}{2}, u = 0

- 4 u^{2} - 2 u 3 = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} - 23 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 4 u^{2} - 23 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 4, b = - 23, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 3 ) \pm ( - 2 3 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 0}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 3 ) \pm ( - 2 3 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 0}{2 ( - 4 )}

(- 23)^{2} - 4 (- 4) \cdot 0 = 23

(- 23)^{2} - 4 (- 4) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 23)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 0

(- 23)^{2} = 2^{2} \cdot 3

(- 23)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 23)^{2} = (23)^{2}

= (23)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (3)^{2}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= 2^{2} \cdot 3

4 \cdot 4 \cdot 0 = 0

4 \cdot 4 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

= 2^{2} \cdot 3 + 0

2^{2} \cdot 3 + 0 = 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b,

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= 3 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 3 ) \pm 2 3}{2 ( - 4 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 3 ) + 2 3}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 3 ) - 2 3}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 2 3 ) + 2 3}{2 ( - 4 )} : - \frac{3}{2}

\frac{- ( - 2 3 ) + 2 3}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 3 + 2 3}{- 2 \cdot 4}

Addiere gleiche Elemente:

23 + 23 = 43

= \frac{4 3}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4 3}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 3}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{3}{2}

u = \frac{- ( - 2 3 ) - 2 3}{2 ( - 4 )} : 0

\frac{- ( - 2 3 ) - 2 3}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 3 - 2 3}{- 2 \cdot 4}

Addiere gleiche Elemente:

23 - 23 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{0}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{8}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{3}{2}, u = 0

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{3}{2}, cos (x) = 0

cos (x) = - \frac{3}{2}, cos (x) = 0

cos (x) = - \frac{3}{2}, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{5 π}{6}, x = \frac{7 π}{6}

cos (x) = - \frac{3}{2}, 0 \leq x < 2 π

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn

x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = \frac{5 π}{6}, x = \frac{7 π}{6}

cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{5 π}{6}, x = \frac{7 π}{6}, x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

sin (x) - 3 cos (x) = 1

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{5 π}{6} :

Falsch

\frac{5 π}{6}

Setze ein

n = 1

\frac{5 π}{6}

Setze

x = \frac{5 π}{6}

sin (x) - 3 cos (x) = 1

ein, um zu lösen

sin (\frac{5 π}{6}) - 3 cos (\frac{5 π}{6}) = 1

Fasse zusammen

2 = 1

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{7 π}{6} :

Wahr

\frac{7 π}{6}

Setze ein

n = 1

\frac{7 π}{6}

Setze

x = \frac{7 π}{6}

sin (x) - 3 cos (x) = 1

ein, um zu lösen

sin (\frac{7 π}{6}) - 3 cos (\frac{7 π}{6}) = 1

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{2} :

Wahr

\frac{π}{2}

Setze ein

n = 1

\frac{π}{2}

Setze

x = \frac{π}{2}

sin (x) - 3 cos (x) = 1

ein, um zu lösen

sin (\frac{π}{2}) - 3 cos (\frac{π}{2}) = 1

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{3 π}{2} :

Falsch

\frac{3 π}{2}

Setze ein

n = 1

\frac{3 π}{2}

Setze

x = \frac{3 π}{2}

sin (x) - 3 cos (x) = 1

ein, um zu lösen

sin (\frac{3 π}{2}) - 3 cos (\frac{3 π}{2}) = 1

Fasse zusammen

- 1 = 1

\Rightarrow Falsch

x = \frac{7 π}{6}, x = \frac{π}{2}

Graph

Beliebte Beispiele

sin(α)+1=cos(α)

sin (α) + 1 = cos (α)

(sin(115))/(53)=(sin(S))/(83)

\frac{sin ( 11 5 ^{\circ} )}{53} = \frac{sin ( S )}{83}

2cos(x)-tan(x)=0

2 cos (x) - tan (x) = 0

sin(θ/2)=0.4

sin (\frac{θ}{2}) = 0.4

arccos(x)=(79)/(9sqrt(70))

arccos (x) = \frac{79}{9 70}