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Beliebt Trigonometrie >

1/(cos^2(θ/2))=12cos(θ)

Lösung

\frac{1}{cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )} = 12 cos (θ)

Lösung

θ = 1.42478 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.42478 \dots + 2 πn

Grad

θ = 81.63392 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 278.36607 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

\frac{1}{cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )} = 12 cos (θ)

Subtrahiere

12 cos (θ)

von beiden Seiten

\frac{1}{cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )} - 12 cos (θ) = 0

Vereinfache

\frac{1}{cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )} - 12 cos (θ) : \frac{1 - 12 cos ^{2} ( \frac{θ}{2} ) cos ( θ )}{cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )}

\frac{1}{cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )} - 12 cos (θ)

Wandle das Element in einen Bruch um:

12 cos (θ) = \frac{12 cos ( θ ) cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )}{cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )} - \frac{12 cos ( θ ) cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )}{cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - 12 cos ( θ ) cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )}{cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )}

\frac{1 - 12 cos ^{2} ( \frac{θ}{2} ) cos ( θ )}{cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 - 12 cos^{2} (\frac{θ}{2}) cos (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - 12 cos^{2} (\frac{θ}{2}) cos (θ)

Verwende die folgenden Identitäten:

cos^{2} (θ) = \frac{1 + cos ( 2 θ )}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität

cos (2 θ) = 2 cos^{2} (θ) - 1

Tausche die Seiten

2 cos^{2} (θ) - 1 = cos (2 θ)

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 sin^{2} (θ) = 1 + cos (2 θ)

Teile beide Seiten durch

2

cos^{2} (θ) = \frac{1 + cos ( 2 θ )}{2}

= 1 - 12 \cdot \frac{1 + cos ( 2 \cdot \frac{θ}{2} )}{2} cos (θ)

12 \cdot \frac{1 + cos ( 2 \cdot \frac{θ}{2} )}{2} cos (θ) = 6 cos (θ) (cos (θ) + 1)

12 \cdot \frac{1 + cos ( 2 \cdot \frac{θ}{2} )}{2} cos (θ)

\frac{1 + cos ( 2 \cdot \frac{θ}{2} )}{2} = \frac{1 + cos ( θ )}{2}

\frac{1 + cos ( 2 \cdot \frac{θ}{2} )}{2}

Multipliziere

2 \cdot \frac{θ}{2} : θ

2 \cdot \frac{θ}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{θ \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= θ

= \frac{1 + cos ( θ )}{2}

= 12 \cdot \frac{cos ( θ ) + 1}{2} cos (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 1 + cos ( θ ) ) \cdot 12 cos ( θ )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{12}{2} = 6

= 6 cos (θ) (cos (θ) + 1)

= 1 - 6 cos (θ) (cos (θ) + 1)

1 - (1 + cos (θ)) \cdot 6 cos (θ) = 0

Löse mit Substitution

1 - (1 + cos (θ)) \cdot 6 cos (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

1 - (1 + u) \cdot 6 u = 0

1 - (1 + u) \cdot 6 u = 0 : u = - \frac{3 + 15}{6}, u = \frac{15 - 3}{6}

1 - (1 + u) \cdot 6 u = 0

Schreibe

1 - (1 + u) \cdot 6 u

um:

1 - 6 u - 6 u^{2}

1 - (1 + u) \cdot 6 u

= 1 - 6 u (1 + u)

Multipliziere aus

- 6 u (1 + u) : - 6 u - 6 u^{2}

- 6 u (1 + u)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = - 6 u, b = 1, c = u

= - 6 u \cdot 1 + (- 6 u) u

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 6 \cdot 1 \cdot u - 6 uu

Vereinfache

- 6 \cdot 1 \cdot u - 6 uu : - 6 u - 6 u^{2}

- 6 \cdot 1 \cdot u - 6 uu

6 \cdot 1 \cdot u = 6 u

6 \cdot 1 \cdot u

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 1 = 6

= 6 u

6 uu = 6 u^{2}

6 uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 6 u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 6 u^{2}

= - 6 u - 6 u^{2}

= - 6 u - 6 u^{2}

= 1 - 6 u - 6 u^{2}

1 - 6 u - 6 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 6 u^{2} - 6 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 6 u^{2} - 6 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 6, b = - 6, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 ( - 6 ) \cdot 1}{2 ( - 6 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 ( - 6 ) \cdot 1}{2 ( - 6 )}

(- 6)^{2} - 4 (- 6) \cdot 1 = 215

(- 6)^{2} - 4 (- 6) \cdot 1

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 6)^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 6)^{2} = 6^{2}

= 6^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 6 \cdot 1 = 24

= 6^{2} + 24

6^{2} = 36

= 36 + 24

Addiere die Zahlen:

36 + 24 = 60

= 60

Primfaktorzerlegung von

60 : 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

60

60

ist durch

260 = 30 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 30

30

ist durch

230 = 15 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 15

15

ist durch

315 = 5 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 3 \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 3 \cdot 5

Fasse zusammen

= 215

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm 2 15}{2 ( - 6 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 6 ) + 2 15}{2 ( - 6 )}, u_{2} = \frac{- ( - 6 ) - 2 15}{2 ( - 6 )}

u = \frac{- ( - 6 ) + 2 15}{2 ( - 6 )} : - \frac{3 + 15}{6}

\frac{- ( - 6 ) + 2 15}{2 ( - 6 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{6 + 2 15}{- 2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{6 + 2 15}{- 12}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6 + 2 15}{12}

Streiche

\frac{6 + 2 15}{12} : \frac{3 + 15}{6}

\frac{6 + 2 15}{12}

Faktorisiere

6 + 215 : 2 (3 + 15)

6 + 215

Schreibe um

= 2 \cdot 3 + 215

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (3 + 15)

= \frac{2 ( 3 + 15 )}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3 + 15}{6}

= - \frac{3 + 15}{6}

u = \frac{- ( - 6 ) - 2 15}{2 ( - 6 )} : \frac{15 - 3}{6}

\frac{- ( - 6 ) - 2 15}{2 ( - 6 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{6 - 2 15}{- 2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{6 - 2 15}{- 12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

6 - 215 = - (215 - 6)

= \frac{2 15 - 6}{12}

Faktorisiere

215 - 6 : 2 (15 - 3)

215 - 6

Schreibe um

= 215 - 2 \cdot 3

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (15 - 3)

= \frac{2 ( 15 - 3 )}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{15 - 3}{6}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{3 + 15}{6}, u = \frac{15 - 3}{6}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = - \frac{3 + 15}{6}, cos (θ) = \frac{15 - 3}{6}

cos (θ) = - \frac{3 + 15}{6}, cos (θ) = \frac{15 - 3}{6}

cos (θ) = - \frac{3 + 15}{6} :

Keine Lösung

cos (θ) = - \frac{3 + 15}{6}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (θ) = \frac{15 - 3}{6} : θ = arccos (\frac{15 - 3}{6}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{15 - 3}{6}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{15 - 3}{6}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{15 - 3}{6}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{15 - 3}{6}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{15 - 3}{6}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{15 - 3}{6}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{15 - 3}{6}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{15 - 3}{6}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (\frac{15 - 3}{6}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{15 - 3}{6}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 1.42478 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.42478 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sqrt(3)cos(x)-sin(x)=sqrt(2)

3 cos (x) - sin (x) = 2

cos(x)=(sqrt(34))/(sqrt(70))

cos (x) = \frac{34}{70}

-3sin(t)+4cos(t)=0

- 3 sin (t) + 4 cos (t) = 0

cos(θ)= 8/6

cos (θ) = \frac{8}{6}

tan(x)=(-2sqrt(2))/2

tan (x) = \frac{- 2 2}{2}