解答
1=sin(90∘−θ)−0.075cos(90∘−θ)
解答
θ=−0.14971…+360∘n,θ=360∘n
+1
弧度
θ=−0.14971…+2πn,θ=0+2πn求解步骤
1=sin(90∘−θ)−0.075cos(90∘−θ)
两边加上 0.075cos(90∘−θ)sin(90∘−θ)=1+0.075cos(90∘−θ)
两边进行平方sin2(90∘−θ)=(1+0.075cos(90∘−θ))2
使用三角恒等式改写
sin2(90∘−θ)=(1+0.075cos(90∘−θ))2
使用三角恒等式改写
sin(90∘−θ)
使用角差恒等式: sin(s−t)=sin(s)cos(t)−cos(s)sin(t)=sin(90∘)cos(θ)−cos(90∘)sin(θ)
化简 sin(90∘)cos(θ)−cos(90∘)sin(θ):cos(θ)
sin(90∘)cos(θ)−cos(90∘)sin(θ)
sin(90∘)cos(θ)=cos(θ)
sin(90∘)cos(θ)
化简 sin(90∘):1
sin(90∘)
使用以下普通恒等式:sin(90∘)=1
sin(x) 周期表（周期为 360∘n"）：
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘sin(x)02122231232221x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘sin(x)0−21−22−23−1−23−22−21
=1=1⋅cos(θ)
乘以:1⋅cos(θ)=cos(θ)=cos(θ)
cos(90∘)sin(θ)=0
cos(90∘)sin(θ)
化简 cos(90∘):0
cos(90∘)
使用以下普通恒等式:cos(90∘)=0
cos(x) 周期表（周期为 360∘n）：
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘cos(x)12322210−21−22−23x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘cos(x)−1−23−22−210212223
=0=0⋅sin(θ)
使用法则 0⋅a=0=0
=cos(θ)−0
cos(θ)−0=cos(θ)=cos(θ)
=cos(θ)
使用角差恒等式: cos(s−t)=cos(s)cos(t)+sin(s)sin(t)=cos(90∘)cos(θ)+sin(90∘)sin(θ)
化简 cos(90∘)cos(θ)+sin(90∘)sin(θ):sin(θ)
cos(90∘)cos(θ)+sin(90∘)sin(θ)
cos(90∘)cos(θ)=0
cos(90∘)cos(θ)
化简 cos(90∘):0
cos(90∘)
使用以下普通恒等式:cos(90∘)=0
cos(x) 周期表（周期为 360∘n）：
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘cos(x)12322210−21−22−23x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘cos(x)−1−23−22−210212223
=0=0⋅cos(θ)
使用法则 0⋅a=0=0
sin(90∘)sin(θ)=sin(θ)
sin(90∘)sin(θ)
化简 sin(90∘):1
sin(90∘)
使用以下普通恒等式:sin(90∘)=1
sin(x) 周期表（周期为 360∘n"）：
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘sin(x)02122231232221x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘sin(x)0−21−22−23−1−23−22−21
=1=1⋅sin(θ)
乘以:1⋅sin(θ)=sin(θ)=sin(θ)
=0+sin(θ)
0+sin(θ)=sin(θ)=sin(θ)
=sin(θ)
(cos(θ))2=(1+0.075sin(θ))2
化简 (cos(θ))2:cos2(θ)
(cos(θ))2
去除括号: (a)=a=cos2(θ)
cos2(θ)=(1+0.075sin(θ))2
cos2(θ)=(1+0.075sin(θ))2
两边减去 (1+0.075sin(θ))2cos2(θ)−1−0.15sin(θ)−0.005625sin2(θ)=0
使用三角恒等式改写
−1+cos2(θ)−0.005625sin2(θ)−0.15sin(θ)
使用毕达哥拉斯恒等式: 1=cos2(x)+sin2(x)1−cos2(x)=sin2(x)=−0.005625sin2(θ)−0.15sin(θ)−sin2(θ)
化简=−1.005625sin2(θ)−0.15sin(θ)
−0.15sin(θ)−1.005625sin2(θ)=0
用替代法求解
−0.15sin(θ)−1.005625sin2(θ)=0
令:sin(θ)=u−0.15u−1.005625u2=0
−0.15u−1.005625u2=0:u=−2.011250.3,u=0
−0.15u−1.005625u2=0
改写成标准形式 ax2+bx+c=0−1.005625u2−0.15u=0
使用求根公式求解
−1.005625u2−0.15u=0
二次方程求根公式:
若 a=−1.005625,b=−0.15,c=0u1,2=2(−1.005625)−(−0.15)±(−0.15)2−4(−1.005625)⋅0
u1,2=2(−1.005625)−(−0.15)±(−0.15)2−4(−1.005625)⋅0
(−0.15)2−4(−1.005625)⋅0=0.15
(−0.15)2−4(−1.005625)⋅0
使用法则 −(−a)=a=(−0.15)2+4⋅1.005625⋅0
使用指数法则: (−a)n=an,若 n 是偶数(−0.15)2=0.152=0.152+4⋅0⋅1.005625
使用法则 0⋅a=0=0.152+0
0.152+0=0.152=0.152
使用根式运算法则: nan=a, 假定 a≥0=0.15
u1,2=2(−1.005625)−(−0.15)±0.15
将解分隔开u1=2(−1.005625)−(−0.15)+0.15,u2=2(−1.005625)−(−0.15)−0.15
u=2(−1.005625)−(−0.15)+0.15:−2.011250.3
2(−1.005625)−(−0.15)+0.15
去除括号: (−a)=−a,−(−a)=a=−2⋅1.0056250.15+0.15
数字相加:0.15+0.15=0.3=−2⋅1.0056250.3
数字相乘:2⋅1.005625=2.01125=−2.011250.3
使用分式法则: −ba=−ba=−2.011250.3
u=2(−1.005625)−(−0.15)−0.15:0
2(−1.005625)−(−0.15)−0.15
去除括号: (−a)=−a,−(−a)=a=−2⋅1.0056250.15−0.15
数字相减:0.15−0.15=0=−2⋅1.0056250
数字相乘:2⋅1.005625=2.01125=−2.011250
使用分式法则: −ba=−ba=−2.011250
使用法则 a0=0,a=0=−0
=0
二次方程组的解是:u=−2.011250.3,u=0
u=sin(θ)代回sin(θ)=−2.011250.3,sin(θ)=0
sin(θ)=−2.011250.3,sin(θ)=0
sin(θ)=−2.011250.3:θ=arcsin(−2.011250.3)+360∘n,θ=180∘+arcsin(2.011250.3)+360∘n
sin(θ)=−2.011250.3
使用反三角函数性质
sin(θ)=−2.011250.3
sin(θ)=−2.011250.3的通解sin(x)=−a⇒x=arcsin(−a)+360∘n,x=180∘+arcsin(a)+360∘nθ=arcsin(−2.011250.3)+360∘n,θ=180∘+arcsin(2.011250.3)+360∘n
θ=arcsin(−2.011250.3)+360∘n,θ=180∘+arcsin(2.011250.3)+360∘n
sin(θ)=0:θ=360∘n,θ=180∘+360∘n
sin(θ)=0
sin(θ)=0的通解
sin(x) 周期表（周期为 360∘n"）：
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘sin(x)02122231232221x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘sin(x)0−21−22−23−1−23−22−21
θ=0+360∘n,θ=180∘+360∘n
θ=0+360∘n,θ=180∘+360∘n
解 θ=0+360∘n:θ=360∘n
θ=0+360∘n
0+360∘n=360∘nθ=360∘n
θ=360∘n,θ=180∘+360∘n
合并所有解θ=arcsin(−2.011250.3)+360∘n,θ=180∘+arcsin(2.011250.3)+360∘n,θ=360∘n,θ=180∘+360∘n
将解代入原方程进行验证
将它们代入 sin(90∘−θ)−0.075cos(90∘−θ)=1检验解是否符合
去除与方程不符的解。
检验 arcsin(−2.011250.3)+360∘n的解:真
arcsin(−2.011250.3)+360∘n
代入 n=1arcsin(−2.011250.3)+360∘1
对于 sin(90∘−θ)−0.075cos(90∘−θ)=1代入θ=arcsin(−2.011250.3)+360∘1sin(90∘−(arcsin(−2.011250.3)+360∘1))−0.075cos(90∘−(arcsin(−2.011250.3)+360∘1))=1
整理后得1=1
⇒真
检验 180∘+arcsin(2.011250.3)+360∘n的解:假
180∘+arcsin(2.011250.3)+360∘n
代入 n=1180∘+arcsin(2.011250.3)+360∘1
对于 sin(90∘−θ)−0.075cos(90∘−θ)=1代入θ=180∘+arcsin(2.011250.3)+360∘1sin(90∘−(180∘+arcsin(2.011250.3)+360∘1))−0.075cos(90∘−(180∘+arcsin(2.011250.3)+360∘1))=1
整理后得−0.97762…=1
⇒假
检验 360∘n的解:真
360∘n
代入 n=1360∘1
对于 sin(90∘−θ)−0.075cos(90∘−θ)=1代入θ=360∘1sin(90∘−360∘1)−0.075cos(90∘−360∘1)=1
整理后得1=1
⇒真
检验 180∘+360∘n的解:假
180∘+360∘n
代入 n=1180∘+360∘1
对于 sin(90∘−θ)−0.075cos(90∘−θ)=1代入θ=180∘+360∘1sin(90∘−(180∘+360∘1))−0.075cos(90∘−(180∘+360∘1))=1
整理后得−1=1
⇒假
θ=arcsin(−2.011250.3)+360∘n,θ=360∘n
以小数形式表示解θ=−0.14971…+360∘n,θ=360∘n