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Beliebt Trigonometrie >

sin^3(x)+3sin^2(x)+2sin(x)=0,0<= x<2pi

Lösung

sin^{3} (x) + 3 sin^{2} (x) + 2 sin (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Lösung

x = 0, x = π, x = \frac{3 π}{2}

Grad

x = 0^{\circ}, x = 18 0^{\circ}, x = 27 0^{\circ}

Schritte zur Lösung

sin^{3} (x) + 3 sin^{2} (x) + 2 sin (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Löse mit Substitution

sin^{3} (x) + 3 sin^{2} (x) + 2 sin (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

u^{3} + 3 u^{2} + 2 u = 0

u^{3} + 3 u^{2} + 2 u = 0 : u = 0, u = - 1, u = - 2

u^{3} + 3 u^{2} + 2 u = 0

Faktorisiere

u^{3} + 3 u^{2} + 2 u : u (u + 1) (u + 2)

u^{3} + 3 u^{2} + 2 u

Klammere gleiche Terme aus

u : u (u^{2} + 3 u + 2)

u^{3} + 3 u^{2} + 2 u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= u^{2} u + 3 uu + 2 u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (u^{2} + 3 u + 2)

= u (u^{2} + 3 u + 2)

Faktorisiere

u^{2} + 3 u + 2 : (u + 1) (u + 2)

u^{2} + 3 u + 2

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

u^{2} + 3 u + 2

Definition

Faktoren von

2 : 1, 2

2

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Addiere 1

1

Die Faktoren von

2

1, 2

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = 2,

prüfe, ob

u + v = 3

Prüfe

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

Wahr

u = 1, v = 2

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(u^{2} + u) + (2 u + 2)

= (u^{2} + u) + (2 u + 2)

Klammere

u

aus

u^{2} + u

aus

: u (u + 1)

u^{2} + u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu + u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (u + 1)

Klammere

2

aus

2 u + 2

aus

: 2 (u + 1)

2 u + 2

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (u + 1)

= u (u + 1) + 2 (u + 1)

Klammere gleiche Terme aus

u + 1

= (u + 1) (u + 2)

= u (u + 1) (u + 2)

u (u + 1) (u + 2) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u = 0 or u + 1 = 0 or u + 2 = 0

Löse

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

Löse

u + 2 = 0 : u = - 2

u + 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u + 2 = 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

u + 2 - 2 = 0 - 2

Vereinfache

u = - 2

u = - 2

Die Lösungen sind

u = 0, u = - 1, u = - 2

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = 0, sin (x) = - 1, sin (x) = - 2

sin (x) = 0, sin (x) = - 1, sin (x) = - 2

sin (x) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 0, x = π

sin (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = 0, x = π

sin (x) = - 1, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{3 π}{2}

sin (x) = - 1, 0 \leq x < 2 π

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = \frac{3 π}{2}

sin (x) = - 2, 0 \leq x < 2 π :

Keine Lösung

sin (x) = - 2, 0 \leq x < 2 π

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = 0, x = π, x = \frac{3 π}{2}

Graph

Beliebte Beispiele

sin(2x-pi/6)=0,0<= x<= 360

sin (2 x - \frac{π}{6}) = 0, 0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}

(cos(x))/2 =(-sqrt(3))/2

\frac{cos ( x )}{2} = \frac{- 3}{2}

solvefor b,a=arccos((a^2-b^2-c^2)/(-2bc))

so l v e f or b, a = arccos (\frac{a ^{2} - b ^{2} - c ^{2}}{- 2 b c})

4cos(θ)-1=0

4 cos (θ) - 1 = 0

sec(y)+5tan(y)=3cos(y)

sec (y) + 5 tan (y) = 3 cos (y)