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Populaire Trigonométrie >

cos(2θ)=cos(3θ)

Solution

cos (2 θ) = cos (3 θ)

Solution

θ = \frac{4 πn}{5}, θ = \frac{2 π}{5} + \frac{4 πn}{5}

Degrés

θ = 0^{\circ} + 14 4^{\circ} n, θ = 7 2^{\circ} + 14 4^{\circ} n

étapes des solutions

cos (2 θ) = cos (3 θ)

Soustraire

cos (3 θ)

des deux côtés

cos (2 θ) - cos (3 θ) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

cos (2 θ) - cos (3 θ)

Utiliser l'identité de la somme au produit:

cos (s) - cos (t) = - 2 sin (\frac{s + t}{2}) sin (\frac{s - t}{2})

= - 2 sin (\frac{2 θ + 3 θ}{2}) sin (\frac{2 θ - 3 θ}{2})

Simplifier

- 2 sin (\frac{2 θ + 3 θ}{2}) sin (\frac{2 θ - 3 θ}{2}) : 2 sin (\frac{θ}{2}) sin (\frac{5 θ}{2})

- 2 sin (\frac{2 θ + 3 θ}{2}) sin (\frac{2 θ - 3 θ}{2})

Additionner les éléments similaires :

2 θ + 3 θ = 5 θ

= - 2 sin (\frac{5 θ}{2}) sin (\frac{2 θ - 3 θ}{2})

\frac{2 θ - 3 θ}{2} = - \frac{θ}{2}

\frac{2 θ - 3 θ}{2}

Additionner les éléments similaires :

2 θ - 3 θ = - θ

= \frac{- θ}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{θ}{2}

= - 2 sin (\frac{5 θ}{2}) sin (- \frac{θ}{2})

Utiliser l'identité de l'angle négatif:

sin (- x) = - sin (x)

= - 2 (- sin (\frac{θ}{2})) sin (\frac{5 θ}{2})

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 2 sin (\frac{θ}{2}) sin (\frac{5 θ}{2})

= 2 sin (\frac{θ}{2}) sin (\frac{5 θ}{2})

2 sin (\frac{5 θ}{2}) sin (\frac{θ}{2}) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

sin (\frac{5 θ}{2}) = 0 or sin (\frac{θ}{2}) = 0

sin (\frac{5 θ}{2}) = 0 : θ = \frac{4 πn}{5}, θ = \frac{2 π}{5} + \frac{4 πn}{5}

sin (\frac{5 θ}{2}) = 0

Solutions générales pour

sin (\frac{5 θ}{2}) = 0

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

\frac{5 θ}{2} = 0 + 2 πn, \frac{5 θ}{2} = π + 2 πn

\frac{5 θ}{2} = 0 + 2 πn, \frac{5 θ}{2} = π + 2 πn

Résoudre

\frac{5 θ}{2} = 0 + 2 πn : θ = \frac{4 πn}{5}

\frac{5 θ}{2} = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

\frac{5 θ}{2} = 2 πn

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{5 θ}{2} = 2 πn

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{2 \cdot 5 θ}{2} = 2 \cdot 2 πn

Simplifier

5 θ = 4 πn

5 θ = 4 πn

Diviser les deux côtés par

5

5 θ = 4 πn

Diviser les deux côtés par

5

\frac{5 θ}{5} = \frac{4 πn}{5}

Simplifier

θ = \frac{4 πn}{5}

θ = \frac{4 πn}{5}

Résoudre

\frac{5 θ}{2} = π + 2 πn : θ = \frac{2 π}{5} + \frac{4 πn}{5}

\frac{5 θ}{2} = π + 2 πn

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{5 θ}{2} = π + 2 πn

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{2 \cdot 5 θ}{2} = 2 π + 2 \cdot 2 πn

Simplifier

5 θ = 2 π + 4 πn

5 θ = 2 π + 4 πn

Diviser les deux côtés par

5

5 θ = 2 π + 4 πn

Diviser les deux côtés par

5

\frac{5 θ}{5} = \frac{2 π}{5} + \frac{4 πn}{5}

Simplifier

θ = \frac{2 π}{5} + \frac{4 πn}{5}

θ = \frac{2 π}{5} + \frac{4 πn}{5}

θ = \frac{4 πn}{5}, θ = \frac{2 π}{5} + \frac{4 πn}{5}

sin (\frac{θ}{2}) = 0 : θ = 4 πn, θ = 2 π + 4 πn

sin (\frac{θ}{2}) = 0

Solutions générales pour

sin (\frac{θ}{2}) = 0

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

\frac{θ}{2} = 0 + 2 πn, \frac{θ}{2} = π + 2 πn

\frac{θ}{2} = 0 + 2 πn, \frac{θ}{2} = π + 2 πn

Résoudre

\frac{θ}{2} = 0 + 2 πn : θ = 4 πn

\frac{θ}{2} = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

\frac{θ}{2} = 2 πn

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{θ}{2} = 2 πn

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot 2 πn

Simplifier

θ = 4 πn

θ = 4 πn

Résoudre

\frac{θ}{2} = π + 2 πn : θ = 2 π + 4 πn

\frac{θ}{2} = π + 2 πn

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{θ}{2} = π + 2 πn

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{2 θ}{2} = 2 π + 2 \cdot 2 πn

Simplifier

θ = 2 π + 4 πn

θ = 2 π + 4 πn

θ = 4 πn, θ = 2 π + 4 πn

Combiner toutes les solutions

θ = \frac{4 πn}{5}, θ = \frac{2 π}{5} + \frac{4 πn}{5}, θ = 4 πn, θ = 2 π + 4 πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

θ = \frac{4 πn}{5}, θ = \frac{2 π}{5} + \frac{4 πn}{5}

Graphe

Exemples populaires

solvefor θ,2sin(θ)=1.5

cos(θ)=-2109

solvefor x,cos(x)(cos(x)-sin(x))=0

sin(x)=0.72555

15=10sin(pi/(20)(x+10))+12