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Populaire Trigonométrie >

2sin(x)+2cos(x)=sqrt(6)

Solution

2 sin (x) + 2 cos (x) = 6

Solution

x = 1.30899 \dots + 2 πn, x = 0.26179 \dots + 2 πn

Degrés

x = 7 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 1 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

2 sin (x) + 2 cos (x) = 6

Soustraire

2 cos (x)

des deux côtés

2 sin (x) = 6 - 2 cos (x)

Mettre les deux côtés au carré

(2 sin (x))^{2} = (6 - 2 cos (x))^{2}

Soustraire

(6 - 2 cos (x))^{2}

des deux côtés

4 sin^{2} (x) - 6 + 46 cos (x) - 4 cos^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 6 - 4 cos^{2} (x) + 4 sin^{2} (x) + 4 cos (x) 6

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 6 - 4 cos^{2} (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) + 4 cos (x) 6

Simplifier

- 6 - 4 cos^{2} (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) + 4 cos (x) 6 : 46 cos (x) - 8 cos^{2} (x) - 2

- 6 - 4 cos^{2} (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) + 4 cos (x) 6

= - 6 - 4 cos^{2} (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) + 46 cos (x)

Développer

4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 - 4 cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (x)

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (x)

= - 6 - 4 cos^{2} (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) + 4 cos (x) 6

Simplifier

- 6 - 4 cos^{2} (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) + 4 cos (x) 6 : 46 cos (x) - 8 cos^{2} (x) - 2

- 6 - 4 cos^{2} (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) + 4 cos (x) 6

Grouper comme termes

= - 4 cos^{2} (x) - 4 cos^{2} (x) + 46 cos (x) - 6 + 4

Additionner les éléments similaires :

- 4 cos^{2} (x) - 4 cos^{2} (x) = - 8 cos^{2} (x)

= - 8 cos^{2} (x) + 46 cos (x) - 6 + 4

Additionner/Soustraire les nombres :

- 6 + 4 = - 2

= 46 cos (x) - 8 cos^{2} (x) - 2

= 46 cos (x) - 8 cos^{2} (x) - 2

= 46 cos (x) - 8 cos^{2} (x) - 2

- 2 - 8 cos^{2} (x) + 4 cos (x) 6 = 0

Résoudre par substitution

- 2 - 8 cos^{2} (x) + 4 cos (x) 6 = 0

Soit :

cos (x) = u

- 2 - 8 u^{2} + 4 u 6 = 0

- 2 - 8 u^{2} + 4 u 6 = 0 : u = \frac{6 - 2}{4}, u = \frac{6 + 2}{4}

- 2 - 8 u^{2} + 4 u 6 = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 8 u^{2} + 46 u - 2 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 8 u^{2} + 46 u - 2 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 8, b = 46, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 4 6 \pm ( 4 6 ) ^{2} - 4 ( - 8 ) ( - 2 )}{2 ( - 8 )}

u_{1, 2} = \frac{- 4 6 \pm ( 4 6 ) ^{2} - 4 ( - 8 ) ( - 2 )}{2 ( - 8 )}

(46)^{2} - 4 (- 8) (- 2) = 42

(46)^{2} - 4 (- 8) (- 2)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (46)^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 2

(46)^{2} = 4^{2} \cdot 6

(46)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 4^{2} (6)^{2}

(6)^{2} : 6

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (6^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 6

= 4^{2} \cdot 6

4 \cdot 8 \cdot 2 = 64

4 \cdot 8 \cdot 2

Multiplier les nombres :

4 \cdot 8 \cdot 2 = 64

= 64

= 4^{2} \cdot 6 - 64

4^{2} \cdot 6 = 96

4^{2} \cdot 6

4^{2} = 16

= 16 \cdot 6

Multiplier les nombres :

16 \cdot 6 = 96

= 96

= 96 - 64

Soustraire les nombres :

96 - 64 = 32

= 32

Factorisation première de

32 : 2^{5}

32

32

divisée par

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 16

16

divisée par

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 8

8

divisée par

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{5}

= 2^{5}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2

Appliquer la règle des radicaux:

n ab = n a n b

= 2 2^{4}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2

Redéfinir

= 42

u_{1, 2} = \frac{- 4 6 \pm 4 2}{2 ( - 8 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 4 6 + 4 2}{2 ( - 8 )}, u_{2} = \frac{- 4 6 - 4 2}{2 ( - 8 )}

u = \frac{- 4 6 + 4 2}{2 ( - 8 )} : \frac{6 - 2}{4}

\frac{- 4 6 + 4 2}{2 ( - 8 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 4 6 + 4 2}{- 2 \cdot 8}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 4 6 + 4 2}{- 16}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 46 + 42 = - (46 - 42)

= \frac{4 6 - 4 2}{16}

Factoriser le terme commun

4

= \frac{4 ( 6 - 2 )}{16}

Annuler le facteur commun :

4

= \frac{6 - 2}{4}

u = \frac{- 4 6 - 4 2}{2 ( - 8 )} : \frac{6 + 2}{4}

\frac{- 4 6 - 4 2}{2 ( - 8 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 4 6 - 4 2}{- 2 \cdot 8}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 4 6 - 4 2}{- 16}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 46 - 42 = - (46 + 42)

= \frac{4 6 + 4 2}{16}

Factoriser le terme commun

4

= \frac{4 ( 6 + 2 )}{16}

Annuler le facteur commun :

4

= \frac{6 + 2}{4}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{6 - 2}{4}, u = \frac{6 + 2}{4}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = \frac{6 - 2}{4}, cos (x) = \frac{6 + 2}{4}

cos (x) = \frac{6 - 2}{4}, cos (x) = \frac{6 + 2}{4}

cos (x) = \frac{6 - 2}{4} : x = arccos (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{6 - 2}{4}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = \frac{6 - 2}{4}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{6 - 2}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{6 + 2}{4} : x = arccos (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{6 + 2}{4}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = \frac{6 + 2}{4}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{6 + 2}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = arccos (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = arccos (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

2 sin (x) + 2 cos (x) = 6

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

arccos (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

vrai

arccos (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

Pour

2 sin (x) + 2 cos (x) = 6

insérer

x = arccos (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

2 sin (arccos (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) + 2 cos (arccos (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = 6

Redéfinir

2.44948 \dots = 2.44948 \dots

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

2 π - arccos (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

Faux

2 π - arccos (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Insérer

n = 1

2 π - arccos (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

Pour

2 sin (x) + 2 cos (x) = 6

insérer

x = 2 π - arccos (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

2 sin (2 π - arccos (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) + 2 cos (2 π - arccos (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = 6

Redéfinir

- 1.41421 \dots = 2.44948 \dots

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

arccos (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn :

vrai

arccos (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

Pour

2 sin (x) + 2 cos (x) = 6

insérer

x = arccos (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

2 sin (arccos (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) + 2 cos (arccos (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) = 6

Redéfinir

2.44948 \dots = 2.44948 \dots

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

2 π - arccos (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn :

Faux

2 π - arccos (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Insérer

n = 1

2 π - arccos (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

Pour

2 sin (x) + 2 cos (x) = 6

insérer

x = 2 π - arccos (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

2 sin (2 π - arccos (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) + 2 cos (2 π - arccos (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) = 6

Redéfinir

1.41421 \dots = 2.44948 \dots

\Rightarrow Faux

x = arccos (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = arccos (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 1.30899 \dots + 2 πn, x = 0.26179 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

0=-0.65sin(13x)

0 = - 0.65 sin (13 x)

solvefor x,tan^2(x)-1=0

so l v e f or x, tan^{2} (x) - 1 = 0

c^9=3tan(-3x+c)

c^{9} = 3 tan (- 3 x + c)

1=8+7sin(15t)

1 = 8 + 7 sin (15 t)

4sin(θ)=4-4sin(θ)

4 sin (θ) = 4 - 4 sin (θ)