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Popolare Trigonometria >

tanh(x)+4sech(x)=4

Soluzione

tanh (x) + 4 sech (x) = 4

Soluzione

x = 0, x = ln (\frac{5}{3})

Gradi

x = 0^{\circ}, x = 29.26815 \dots^{\circ}

Fasi della soluzione

tanh (x) + 4 sech (x) = 4

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

tanh (x) + 4 sech (x) = 4

Usa l'identità iperbolica:

tanh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} + 4 sech (x) = 4

Usa l'identità iperbolica:

sech (x) = \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}} = 4

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}} = 4

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}} = 4 : x = 0, x = ln (\frac{5}{3})

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}} = 4

Moltiplica entrambi i lati per

e^{x} + e^{- x}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} (e^{x} + e^{- x}) + 4 \cdot \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}} (e^{x} + e^{- x}) = 4 (e^{x} + e^{- x})

Semplificare

e^{x} - e^{- x} + 8 = 4 (e^{x} + e^{- x})

Applica le regole dell'esponente

e^{x} - e^{- x} + 8 = 4 (e^{x} + e^{- x})

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

e^{x} - (e^{x})^{- 1} + 8 = 4 (e^{x} + (e^{x})^{- 1})

e^{x} - (e^{x})^{- 1} + 8 = 4 (e^{x} + (e^{x})^{- 1})

Riscrivi l'equazione con

e^{x} = u

u - (u)^{- 1} + 8 = 4 (u + (u)^{- 1})

Risolvi

u - u^{- 1} + 8 = 4 (u + u^{- 1}) : u = 1, u = \frac{5}{3}

u - u^{- 1} + 8 = 4 (u + u^{- 1})

Affinare

u - \frac{1}{u} + 8 = 4 (u + \frac{1}{u})

Moltiplica entrambi i lati per

u

u - \frac{1}{u} + 8 = 4 (u + \frac{1}{u})

Moltiplica entrambi i lati per

u

uu - \frac{1}{u} u + 8 u = 4 (u + \frac{1}{u}) u

Semplificare

uu - \frac{1}{u} u + 8 u = 4 (u + \frac{1}{u}) u

Semplificare

uu : u^{2}

uu

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= u^{2}

Semplificare

- \frac{1}{u} u : - 1

- \frac{1}{u} u

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u}{u}

Cancella il fattore comune:

u

= - 1

u^{2} - 1 + 8 u = 4 (u + \frac{1}{u}) u

u^{2} - 1 + 8 u = 4 (u + \frac{1}{u}) u

u^{2} - 1 + 8 u = 4 (u + \frac{1}{u}) u

Espandere

4 (u + \frac{1}{u}) u : 4 u^{2} + 4

4 (u + \frac{1}{u}) u

= 4 u (u + \frac{1}{u})

Applicare la legge della distribuzione:

a (b + c) = ab + a c

a = 4 u, b = u, c = \frac{1}{u}

= 4 uu + 4 u \frac{1}{u}

= 4 uu + 4 \cdot \frac{1}{u} u

Semplifica

4 uu + 4 \cdot \frac{1}{u} u : 4 u^{2} + 4

4 uu + 4 \cdot \frac{1}{u} u

4 uu = 4 u^{2}

4 uu

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 4 u^{1 + 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 4 u^{2}

4 \cdot \frac{1}{u} u = 4

4 \cdot \frac{1}{u} u

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 u}{u}

Cancella il fattore comune:

u

= 1 \cdot 4

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 4 = 4

= 4

= 4 u^{2} + 4

= 4 u^{2} + 4

u^{2} - 1 + 8 u = 4 u^{2} + 4

Spostare

1

a destra dell'equazione

u^{2} - 1 + 8 u = 4 u^{2} + 4

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u^{2} - 1 + 8 u + 1 = 4 u^{2} + 4 + 1

Semplificare

u^{2} + 8 u = 4 u^{2} + 5

u^{2} + 8 u = 4 u^{2} + 5

Risolvi

u^{2} + 8 u = 4 u^{2} + 5 : u = 1, u = \frac{5}{3}

u^{2} + 8 u = 4 u^{2} + 5

Spostare

5

a sinistra dell'equazione

u^{2} + 8 u = 4 u^{2} + 5

Sottrarre

5

da entrambi i lati

u^{2} + 8 u - 5 = 4 u^{2} + 5 - 5

Semplificare

u^{2} + 8 u - 5 = 4 u^{2}

u^{2} + 8 u - 5 = 4 u^{2}

Spostare

4 u^{2}

a sinistra dell'equazione

u^{2} + 8 u - 5 = 4 u^{2}

Sottrarre

4 u^{2}

da entrambi i lati

u^{2} + 8 u - 5 - 4 u^{2} = 4 u^{2} - 4 u^{2}

Semplificare

- 3 u^{2} + 8 u - 5 = 0

- 3 u^{2} + 8 u - 5 = 0

Risolvi con la formula quadratica

- 3 u^{2} + 8 u - 5 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 3, b = 8, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 3 ) ( - 5 )}{2 ( - 3 )}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 3 ) ( - 5 )}{2 ( - 3 )}

8^{2} - 4 (- 3) (- 5) = 2

8^{2} - 4 (- 3) (- 5)

Applicare la regola

- (- a) = a

= 8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 3 \cdot 5 = 60

= 8^{2} - 60

8^{2} = 64

= 64 - 60

Sottrai i numeri:

64 - 60 = 4

= 4

Fattorizzare il numero:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 2}{2 ( - 3 )}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- 8 + 2}{2 ( - 3 )}, u_{2} = \frac{- 8 - 2}{2 ( - 3 )}

u = \frac{- 8 + 2}{2 ( - 3 )} : 1

\frac{- 8 + 2}{2 ( - 3 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= \frac{- 8 + 2}{- 2 \cdot 3}

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 8 + 2 = - 6

= \frac{- 6}{- 2 \cdot 3}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 6}{- 6}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{6}{6}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- 8 - 2}{2 ( - 3 )} : \frac{5}{3}

\frac{- 8 - 2}{2 ( - 3 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= \frac{- 8 - 2}{- 2 \cdot 3}

Sottrai i numeri:

- 8 - 2 = - 10

= \frac{- 10}{- 2 \cdot 3}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 10}{- 6}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{10}{6}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{5}{3}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = 1, u = \frac{5}{3}

u = 1, u = \frac{5}{3}

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

u - u^{- 1} + 8

e confrontare con zero

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

4 (u + u^{- 1})

e confrontare con zero

u = 0

I seguenti punti sono non definiti

u = 0

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = 1, u = \frac{5}{3}

u = 1, u = \frac{5}{3}

Sostituisci

u = e^{x},

risolvi per

x

Risolvi

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

Applica le regole dell'esponente

e^{x} = 1

f (x) = g (x)

, allora

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

Applica la regola del logaritmo:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

Semplificare

ln (1) : 0

ln (1)

Applica la regola del logaritmo:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

Risolvi

e^{x} = \frac{5}{3} : x = ln (\frac{5}{3})

e^{x} = \frac{5}{3}

Applica le regole dell'esponente

e^{x} = \frac{5}{3}

f (x) = g (x)

, allora

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{5}{3})

Applica la regola del logaritmo:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5}{3})

x = ln (\frac{5}{3})

x = 0, x = ln (\frac{5}{3})

Verificare le soluzioni:

x = 0

Vero

, x = ln (\frac{5}{3})

Vero

Verifica le soluzioni sostituendole in

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{x} + e ^{- x}} = 4

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Inserire in

x = 0 :

Vero

\frac{e ^{0} - e ^{- 0}}{e ^{0} + e ^{- 0}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{0} + e ^{- 0}} = 4

\frac{e ^{0} - e ^{- 0}}{e ^{0} + e ^{- 0}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{0} + e ^{- 0}} = 4

\frac{e ^{0} - e ^{- 0}}{e ^{0} + e ^{- 0}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{0} + e ^{- 0}}

Applicare la regola

a^{0} = 1, a \neq = 0

e^{0} = 1, e^{- 0} = 1

= \frac{1 - 1}{1 + 1} + 4 \cdot \frac{2}{1 + 1}

\frac{1 - 1}{1 + 1} = 0

\frac{1 - 1}{1 + 1}

Sottrai i numeri:

1 - 1 = 0

= \frac{0}{1 + 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= \frac{0}{2}

Applicare la regola

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

4 \cdot \frac{2}{1 + 1} = 4

4 \cdot \frac{2}{1 + 1}

\frac{2}{1 + 1} = 1

\frac{2}{1 + 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= \frac{2}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 4 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 = 4

= 4

= 0 + 4

Aggiungi i numeri:

0 + 4 = 4

= 4

4 = 4

Vero

Inserire in

x = ln (\frac{5}{3}) :

Vero

\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} = 4

\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} = 4

\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} + 4 \cdot \frac{2}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}

\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} = \frac{8}{17}

\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

e^{l n (\frac{5}{3})}

Applica la regola del logaritmo:

a^{l o g_{a} (b)} = b

= \frac{5}{3}

e^{- l n (\frac{5}{3})} = \frac{3}{5}

e^{- l n (\frac{5}{3})}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= (e^{l n (\frac{5}{3})})^{- 1}

Applica la regola del logaritmo:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

= (\frac{5}{3})^{- 1}

Applica la regola degli esponenti:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{1}{\frac{5}{3}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{3}{5}

= \frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{\frac{5}{3} + \frac{3}{5}}

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

e^{l n (\frac{5}{3})}

Applica la regola del logaritmo:

a^{l o g_{a} (b)} = b

= \frac{5}{3}

e^{- l n (\frac{5}{3})} = \frac{3}{5}

e^{- l n (\frac{5}{3})}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= (e^{l n (\frac{5}{3})})^{- 1}

Applica la regola del logaritmo:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

= (\frac{5}{3})^{- 1}

Applica la regola degli esponenti:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{1}{\frac{5}{3}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{3}{5}

= \frac{\frac{5}{3} - \frac{3}{5}}{\frac{5}{3} + \frac{3}{5}}

Unisci

\frac{5}{3} + \frac{3}{5} : \frac{34}{15}

\frac{5}{3} + \frac{3}{5}

Minimo Comune Multiplo di

3, 5 : 15

3, 5

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

3 : 3

3

3

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 3

Fattorizzazione prima di

5 : 5

5

5

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 5

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 3 o 5

= 3 \cdot 5

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 5 = 15

= 15

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

15

Per

\frac{5}{3} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

5

\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{25}{15}

Per

\frac{3}{5} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

3

\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}

= \frac{25}{15} + \frac{9}{15}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{25 + 9}{15}

Aggiungi i numeri:

25 + 9 = 34

= \frac{34}{15}

= \frac{\frac{5}{3} - \frac{3}{5}}{\frac{34}{15}}

Unisci

\frac{5}{3} - \frac{3}{5} : \frac{16}{15}

\frac{5}{3} - \frac{3}{5}

Minimo Comune Multiplo di

3, 5 : 15

3, 5

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

3 : 3

3

3

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 3

Fattorizzazione prima di

5 : 5

5

5

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 5

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 3 o 5

= 3 \cdot 5

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 5 = 15

= 15

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

15

Per

\frac{5}{3} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

5

\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{25}{15}

Per

\frac{3}{5} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

3

\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}

= \frac{25}{15} - \frac{9}{15}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{25 - 9}{15}

Sottrai i numeri:

25 - 9 = 16

= \frac{16}{15}

= \frac{\frac{16}{15}}{\frac{34}{15}}

Dividi le frazioni:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{16 \cdot 15}{15 \cdot 34}

Cancella il fattore comune:

15

= \frac{16}{34}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{8}{17}

4 \cdot \frac{2}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} = \frac{60}{17}

4 \cdot \frac{2}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}

\frac{2}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} = \frac{15}{17}

\frac{2}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

e^{l n (\frac{5}{3})}

Applica la regola del logaritmo:

a^{l o g_{a} (b)} = b

= \frac{5}{3}

e^{- l n (\frac{5}{3})} = \frac{3}{5}

e^{- l n (\frac{5}{3})}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= (e^{l n (\frac{5}{3})})^{- 1}

Applica la regola del logaritmo:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

= (\frac{5}{3})^{- 1}

Applica la regola degli esponenti:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{1}{\frac{5}{3}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{3}{5}

= \frac{2}{\frac{5}{3} + \frac{3}{5}}

Unisci

\frac{5}{3} + \frac{3}{5} : \frac{34}{15}

\frac{5}{3} + \frac{3}{5}

Minimo Comune Multiplo di

3, 5 : 15

3, 5

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

3 : 3

3

3

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 3

Fattorizzazione prima di

5 : 5

5

5

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 5

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 3 o 5

= 3 \cdot 5

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 5 = 15

= 15

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

15

Per

\frac{5}{3} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

5

\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{25}{15}

Per

\frac{3}{5} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

3

\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}

= \frac{25}{15} + \frac{9}{15}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{25 + 9}{15}

Aggiungi i numeri:

25 + 9 = 34

= \frac{34}{15}

= \frac{2}{\frac{34}{15}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 \cdot 15}{34}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 15 = 30

= \frac{30}{34}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{15}{17}

= 4 \cdot \frac{15}{17}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{15 \cdot 4}{17}

Moltiplica i numeri:

15 \cdot 4 = 60

= \frac{60}{17}

= \frac{8}{17} + \frac{60}{17}

Semplificare

\frac{8}{17} + \frac{60}{17}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{8 + 60}{17}

Aggiungi i numeri:

8 + 60 = 68

= \frac{68}{17}

Dividi i numeri:

\frac{68}{17} = 4

= 4

= 4

4 = 4

Vero

Le soluzioni sono

x = 0, x = ln (\frac{5}{3})

x = 0, x = ln (\frac{5}{3})

Grafico

Esempi popolari

36/49+cos^2(θ)=1

\frac{36}{49} + cos^{2} (θ) = 1

sin(x)+3/2 =0

sin (x) + \frac{3}{2} = 0

3cos^2(x)+10cos(x)+3=0

3 cos^{2} (x) + 10 cos (x) + 3 = 0

-1=sin(k)(45)

- 1 = sin (k) (45)

-494cos(A)=-241

- 494 cos (A) = - 241