English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Beliebt Trigonometrie >

cos(x)+cos(x)=cos(2x)

Lösung

cos (x) + cos (x) = cos (2 x)

Lösung

x = 1.94553 \dots + 2 πn, x = - 1.94553 \dots + 2 πn

Grad

x = 111.47070 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 111.47070 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (x) + cos (x) = cos (2 x)

Subtrahiere

cos (2 x)

von beiden Seiten

2 cos (x) - cos (2 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- cos (2 x) + 2 cos (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - (2 cos^{2} (x) - 1) + 2 cos (x)

- (2 cos^{2} (x) - 1) : - 2 cos^{2} (x) + 1

- (2 cos^{2} (x) - 1)

Setze Klammern

= - (2 cos^{2} (x)) - (- 1)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 2 cos^{2} (x) + 1

= - 2 cos^{2} (x) + 1 + 2 cos (x)

1 + 2 cos (x) - 2 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

1 + 2 cos (x) - 2 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

1 + 2 u - 2 u^{2} = 0

1 + 2 u - 2 u^{2} = 0 : u = - \frac{- 1 + 3}{2}, u = \frac{1 + 3}{2}

1 + 2 u - 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

2^{2} - 4 (- 2) \cdot 1 = 23

2^{2} - 4 (- 2) \cdot 1

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= 4 + 8

Addiere die Zahlen:

4 + 8 = 12

= 12

Primfaktorzerlegung von

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 3 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 3}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 2 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 2 + 2 3}{2 ( - 2 )} : - \frac{- 1 + 3}{2}

\frac{- 2 + 2 3}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 2 3}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 + 2 3}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 2 + 2 3}{4}

Streiche

\frac{- 2 + 2 3}{4} : \frac{3 - 1}{2}

\frac{- 2 + 2 3}{4}

Faktorisiere

- 2 + 23 : 2 (- 1 + 3)

- 2 + 23

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 + 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 1 + 3)

= \frac{2 ( - 1 + 3 )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 1 + 3}{2}

= - \frac{3 - 1}{2}

= - \frac{- 1 + 3}{2}

u = \frac{- 2 - 2 3}{2 ( - 2 )} : \frac{1 + 3}{2}

\frac{- 2 - 2 3}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 2 3}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 - 2 3}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 2 - 23 = - (2 + 23)

= \frac{2 + 2 3}{4}

Faktorisiere

2 + 23 : 2 (1 + 3)

2 + 23

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 3)

= \frac{2 ( 1 + 3 )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 + 3}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{- 1 + 3}{2}, u = \frac{1 + 3}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{- 1 + 3}{2}, cos (x) = \frac{1 + 3}{2}

cos (x) = - \frac{- 1 + 3}{2}, cos (x) = \frac{1 + 3}{2}

cos (x) = - \frac{- 1 + 3}{2} : x = arccos (- \frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 1 + 3}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{- 1 + 3}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{- 1 + 3}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 + 3}{2} :

Keine Lösung

cos (x) = \frac{1 + 3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.94553 \dots + 2 πn, x = - 1.94553 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

csc^2(2x-0.6)=16

csc^{2} (2 x - 0.6) = 16

tan(x-1)=2

tan (x - 1) = 2

5sin^2(x)+10sin(x)+2=0

5 sin^{2} (x) + 10 sin (x) + 2 = 0

tan(x)= 5/(5.1)

tan (x) = \frac{5}{5.1}

(sin(x))/(120)=(sin(60))/(300)

\frac{sin ( x )}{120} = \frac{sin ( 6 0 ^{\circ} )}{300}