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csc^2(x)=sec(x)

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解答

csc2(x)=sec(x)

解答

x=0.90455…+2πn,x=2π−0.90455…+2πn
+1
度数
x=51.82729…∘+360∘n,x=308.17270…∘+360∘n
求解步骤
csc2(x)=sec(x)
两边减去 sec(x)csc2(x)−sec(x)=0
用 sin, cos 表示(sin(x)1​)2−cos(x)1​=0
化简 (sin(x)1​)2−cos(x)1​:sin2(x)cos(x)cos(x)−sin2(x)​
(sin(x)1​)2−cos(x)1​
(sin(x)1​)2=sin2(x)1​
(sin(x)1​)2
使用指数法则: (ba​)c=bcac​=sin2(x)12​
使用法则 1a=112=1=sin2(x)1​
=sin2(x)1​−cos(x)1​
sin2(x),cos(x)的最小公倍数:sin2(x)cos(x)
sin2(x),cos(x)
最小公倍数 (LCM)
计算出由出现在 sin2(x) 或 cos(x)中的因子组成的表达式=sin2(x)cos(x)
根据最小公倍数调整分式
将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值 sin2(x)cos(x)
对于 sin2(x)1​:将分母和分子乘以 cos(x)sin2(x)1​=sin2(x)cos(x)1⋅cos(x)​=sin2(x)cos(x)cos(x)​
对于 cos(x)1​:将分母和分子乘以 sin2(x)cos(x)1​=cos(x)sin2(x)1⋅sin2(x)​=sin2(x)cos(x)sin2(x)​
=sin2(x)cos(x)cos(x)​−sin2(x)cos(x)sin2(x)​
因为分母相等,所以合并分式: ca​±cb​=ca±b​=sin2(x)cos(x)cos(x)−sin2(x)​
sin2(x)cos(x)cos(x)−sin2(x)​=0
g(x)f(x)​=0⇒f(x)=0cos(x)−sin2(x)=0
两边加上 sin2(x)cos(x)=sin2(x)
两边进行平方cos2(x)=(sin2(x))2
两边减去 (sin2(x))2cos2(x)−sin4(x)=0
分解 cos2(x)−sin4(x):(cos(x)+sin2(x))(cos(x)−sin2(x))
cos2(x)−sin4(x)
使用指数法则: abc=(ab)csin4(x)=(sin2(x))2=cos2(x)−(sin2(x))2
使用平方差公式: x2−y2=(x+y)(x−y)cos2(x)−(sin2(x))2=(cos(x)+sin2(x))(cos(x)−sin2(x))=(cos(x)+sin2(x))(cos(x)−sin2(x))
(cos(x)+sin2(x))(cos(x)−sin2(x))=0
分别求解每个部分cos(x)+sin2(x)=0orcos(x)−sin2(x)=0
cos(x)+sin2(x)=0:x=arccos(−2−1+5​​)+2πn,x=−arccos(−2−1+5​​)+2πn
cos(x)+sin2(x)=0
使用三角恒等式改写
cos(x)+sin2(x)
使用毕达哥拉斯恒等式: cos2(x)+sin2(x)=1sin2(x)=1−cos2(x)=cos(x)+1−cos2(x)
1+cos(x)−cos2(x)=0
用替代法求解
1+cos(x)−cos2(x)=0
令:cos(x)=u1+u−u2=0
1+u−u2=0:u=−2−1+5​​,u=21+5​​
1+u−u2=0
改写成标准形式 ax2+bx+c=0−u2+u+1=0
使用求根公式求解
−u2+u+1=0
二次方程求根公式:
若 a=−1,b=1,c=1u1,2​=2(−1)−1±12−4(−1)⋅1​​
u1,2​=2(−1)−1±12−4(−1)⋅1​​
12−4(−1)⋅1​=5​
12−4(−1)⋅1​
使用法则 1a=112=1=1−4(−1)⋅1​
使用法则 −(−a)=a=1+4⋅1⋅1​
数字相乘:4⋅1⋅1=4=1+4​
数字相加:1+4=5=5​
u1,2​=2(−1)−1±5​​
将解分隔开u1​=2(−1)−1+5​​,u2​=2(−1)−1−5​​
u=2(−1)−1+5​​:−2−1+5​​
2(−1)−1+5​​
去除括号: (−a)=−a=−2⋅1−1+5​​
数字相乘:2⋅1=2=−2−1+5​​
使用分式法则: −ba​=−ba​=−2−1+5​​
u=2(−1)−1−5​​:21+5​​
2(−1)−1−5​​
去除括号: (−a)=−a=−2⋅1−1−5​​
数字相乘:2⋅1=2=−2−1−5​​
使用分式法则: −b−a​=ba​−1−5​=−(1+5​)=21+5​​
二次方程组的解是:u=−2−1+5​​,u=21+5​​
u=cos(x)代回cos(x)=−2−1+5​​,cos(x)=21+5​​
cos(x)=−2−1+5​​,cos(x)=21+5​​
cos(x)=−2−1+5​​:x=arccos(−2−1+5​​)+2πn,x=−arccos(−2−1+5​​)+2πn
cos(x)=−2−1+5​​
使用反三角函数性质
cos(x)=−2−1+5​​
cos(x)=−2−1+5​​的通解cos(x)=−a⇒x=arccos(−a)+2πn,x=−arccos(−a)+2πnx=arccos(−2−1+5​​)+2πn,x=−arccos(−2−1+5​​)+2πn
x=arccos(−2−1+5​​)+2πn,x=−arccos(−2−1+5​​)+2πn
cos(x)=21+5​​:无解
cos(x)=21+5​​
−1≤cos(x)≤1无解
合并所有解x=arccos(−2−1+5​​)+2πn,x=−arccos(−2−1+5​​)+2πn
cos(x)−sin2(x)=0:x=arccos(2−1+5​​)+2πn,x=2π−arccos(2−1+5​​)+2πn
cos(x)−sin2(x)=0
使用三角恒等式改写
cos(x)−sin2(x)
使用毕达哥拉斯恒等式: cos2(x)+sin2(x)=1sin2(x)=1−cos2(x)=cos(x)−(1−cos2(x))
−(1−cos2(x)):−1+cos2(x)
−(1−cos2(x))
打开括号=−(1)−(−cos2(x))
使用加减运算法则−(−a)=a,−(a)=−a=−1+cos2(x)
=cos(x)−1+cos2(x)
−1+cos(x)+cos2(x)=0
用替代法求解
−1+cos(x)+cos2(x)=0
令:cos(x)=u−1+u+u2=0
−1+u+u2=0:u=2−1+5​​,u=2−1−5​​
−1+u+u2=0
改写成标准形式 ax2+bx+c=0u2+u−1=0
使用求根公式求解
u2+u−1=0
二次方程求根公式:
若 a=1,b=1,c=−1u1,2​=2⋅1−1±12−4⋅1⋅(−1)​​
u1,2​=2⋅1−1±12−4⋅1⋅(−1)​​
12−4⋅1⋅(−1)​=5​
12−4⋅1⋅(−1)​
使用法则 1a=112=1=1−4⋅1⋅(−1)​
使用法则 −(−a)=a=1+4⋅1⋅1​
数字相乘:4⋅1⋅1=4=1+4​
数字相加:1+4=5=5​
u1,2​=2⋅1−1±5​​
将解分隔开u1​=2⋅1−1+5​​,u2​=2⋅1−1−5​​
u=2⋅1−1+5​​:2−1+5​​
2⋅1−1+5​​
数字相乘:2⋅1=2=2−1+5​​
u=2⋅1−1−5​​:2−1−5​​
2⋅1−1−5​​
数字相乘:2⋅1=2=2−1−5​​
二次方程组的解是:u=2−1+5​​,u=2−1−5​​
u=cos(x)代回cos(x)=2−1+5​​,cos(x)=2−1−5​​
cos(x)=2−1+5​​,cos(x)=2−1−5​​
cos(x)=2−1+5​​:x=arccos(2−1+5​​)+2πn,x=2π−arccos(2−1+5​​)+2πn
cos(x)=2−1+5​​
使用反三角函数性质
cos(x)=2−1+5​​
cos(x)=2−1+5​​的通解cos(x)=a⇒x=arccos(a)+2πn,x=2π−arccos(a)+2πnx=arccos(2−1+5​​)+2πn,x=2π−arccos(2−1+5​​)+2πn
x=arccos(2−1+5​​)+2πn,x=2π−arccos(2−1+5​​)+2πn
cos(x)=2−1−5​​:无解
cos(x)=2−1−5​​
−1≤cos(x)≤1无解
合并所有解x=arccos(2−1+5​​)+2πn,x=2π−arccos(2−1+5​​)+2πn
合并所有解x=arccos(−2−1+5​​)+2πn,x=−arccos(−2−1+5​​)+2πn,x=arccos(2−1+5​​)+2πn,x=2π−arccos(2−1+5​​)+2πn
将解代入原方程进行验证
将它们代入 csc2(x)=sec(x)检验解是否符合
去除与方程不符的解。
检验 arccos(−2−1+5​​)+2πn的解:假
arccos(−2−1+5​​)+2πn
代入 n=1arccos(−2−1+5​​)+2π1
对于 csc2(x)=sec(x)代入x=arccos(−2−1+5​​)+2π1csc2(arccos(−2−1+5​​)+2π1)=sec(arccos(−2−1+5​​)+2π1)
整理后得1.61803…=−1.61803…
⇒假
检验 −arccos(−2−1+5​​)+2πn的解:假
−arccos(−2−1+5​​)+2πn
代入 n=1−arccos(−2−1+5​​)+2π1
对于 csc2(x)=sec(x)代入x=−arccos(−2−1+5​​)+2π1csc2(−arccos(−2−1+5​​)+2π1)=sec(−arccos(−2−1+5​​)+2π1)
整理后得1.61803…=−1.61803…
⇒假
检验 arccos(2−1+5​​)+2πn的解:真
arccos(2−1+5​​)+2πn
代入 n=1arccos(2−1+5​​)+2π1
对于 csc2(x)=sec(x)代入x=arccos(2−1+5​​)+2π1csc2(arccos(2−1+5​​)+2π1)=sec(arccos(2−1+5​​)+2π1)
整理后得1.61803…=1.61803…
⇒真
检验 2π−arccos(2−1+5​​)+2πn的解:真
2π−arccos(2−1+5​​)+2πn
代入 n=12π−arccos(2−1+5​​)+2π1
对于 csc2(x)=sec(x)代入x=2π−arccos(2−1+5​​)+2π1csc2(2π−arccos(2−1+5​​)+2π1)=sec(2π−arccos(2−1+5​​)+2π1)
整理后得1.61803…=1.61803…
⇒真
x=arccos(2−1+5​​)+2πn,x=2π−arccos(2−1+5​​)+2πn
以小数形式表示解x=0.90455…+2πn,x=2π−0.90455…+2πn

作图

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流行的例子

(2cos(x)-sin^2(x))=1+cos^2(x)(2cos(x)−sin2(x))=1+cos2(x)6cos^3(x)+cos^2(x)-1=06cos3(x)+cos2(x)−1=04tan^2(x)+12tan(x)-27=04tan2(x)+12tan(x)−27=0sin^2(x)-cos(x)= 1/4sin2(x)−cos(x)=41​cos^4(a)=3+4cos^2(a)+cos^4(a)cos4(a)=3+4cos2(a)+cos4(a)
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