English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

csc^2(x)=sec(x)

Решение

csc^{2} (x) = sec (x)

Решение

x = 0.90455 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.90455 \dots + 2 πn

Градусы

x = 51.82729 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 308.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Шаги решения

csc^{2} (x) = sec (x)

Вычтите

sec (x)

с обеих сторон

csc^{2} (x) - sec (x) = 0

Выразите с помощью синуса (sin), косинуса (cos)

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} - \frac{1}{cos ( x )} = 0

Упростить

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} - \frac{1}{cos ( x )} : \frac{cos ( x ) - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} - \frac{1}{cos ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Примените правило возведения в степень:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Примените правило

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ( x )}

Наименьший Общий Множитель

sin^{2} (x), cos (x) : sin^{2} (x) cos (x)

sin^{2} (x), cos (x)

Наименьший Общий Кратный (НОК)

Вычислите выражение, состоящее из факторов, которые появляются либо в

sin^{2} (x)

либо

cos (x)

= sin^{2} (x) cos (x)

Отрегулируйте дроби на основе Наименьшего Общего Кратного (НОК)

Умножьте каждый числитель на такое же число, необходимое для умножения его

соответствующего знаменателя, чтобы превратить его в НОК

sin^{2} (x) cos (x)

Для

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} :

умножить знаменатель и числитель на

cos (x)

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} = \frac{1 \cdot cos ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )} = \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

Для

\frac{1}{cos ( x )} :

умножить знаменатель и числитель на

sin^{2} (x)

\frac{1}{cos ( x )} = \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ^{2} ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )} - \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( x ) - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

\frac{cos ( x ) - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (x) - sin^{2} (x) = 0

Добавьте

sin^{2} (x)

к обеим сторонам

cos (x) = sin^{2} (x)

Возведите в квадрат обе части

cos^{2} (x) = (sin^{2} (x))^{2}

Вычтите

(sin^{2} (x))^{2}

с обеих сторон

cos^{2} (x) - sin^{4} (x) = 0

коэффициент

cos^{2} (x) - sin^{4} (x) : (cos (x) + sin^{2} (x)) (cos (x) - sin^{2} (x))

cos^{2} (x) - sin^{4} (x)

Примените правило возведения в степень:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (x) = (sin^{2} (x))^{2}

= cos^{2} (x) - (sin^{2} (x))^{2}

Примените формулу разности двух квадратов:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (x) - (sin^{2} (x))^{2} = (cos (x) + sin^{2} (x)) (cos (x) - sin^{2} (x))

= (cos (x) + sin^{2} (x)) (cos (x) - sin^{2} (x))

(cos (x) + sin^{2} (x)) (cos (x) - sin^{2} (x)) = 0

Произведите отдельное решение для каждой части

cos (x) + sin^{2} (x) = 0 or cos (x) - sin^{2} (x) = 0

cos (x) + sin^{2} (x) = 0 : x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) + sin^{2} (x) = 0

Перепишите используя тригонометрические тождества

cos (x) + sin^{2} (x)

Используйте основное тригонометрическое тождество (тождество Пифагора):

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= cos (x) + 1 - cos^{2} (x)

1 + cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Решитe подстановкой

1 + cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Допустим:

cos (x) = u

1 + u - u^{2} = 0

1 + u - u^{2} = 0 : u = - \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{1 + 5}{2}

1 + u - u^{2} = 0

Запишите в стандартной форме

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + u + 1 = 0

Решите с помощью квадратичной формулы

- u^{2} + u + 1 = 0

Формула квадратного уравнения:

Для

a = - 1, b = 1, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 = 5

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

Примените правило

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 1) \cdot 1

Примените правило

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1

Перемножьте числа:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 + 4

Добавьте числа:

1 + 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 ( - 1 )}

Разделите решения

u_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )} : - \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )}

Уберите скобки:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 5}{- 2 \cdot 1}

Перемножьте числа:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 5}{- 2}

Примените правило дробей:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 1 + 5}{2}

u = \frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )} : \frac{1 + 5}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )}

Уберите скобки:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 5}{- 2 \cdot 1}

Перемножьте числа:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 5}{- 2}

Примените правило дробей:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 1 - 5 = - (1 + 5)

= \frac{1 + 5}{2}

Решением квадратного уравнения являются:

u = - \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{1 + 5}{2}

Делаем обратную замену

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{1 + 5}{2}

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{1 + 5}{2}

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2} : x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}

Примените обратные тригонометрические свойства

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}

Общие решения для

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 + 5}{2} :

Не имеет решения

cos (x) = \frac{1 + 5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Не имеет решения

Объедините все решения

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) - sin^{2} (x) = 0 : x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) - sin^{2} (x) = 0

Перепишите используя тригонометрические тождества

cos (x) - sin^{2} (x)

Используйте основное тригонометрическое тождество (тождество Пифагора):

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= cos (x) - (1 - cos^{2} (x))

- (1 - cos^{2} (x)) : - 1 + cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x))

Расставьте скобки

= - (1) - (- cos^{2} (x))

Применение правил минус-плюс

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (x)

= cos (x) - 1 + cos^{2} (x)

- 1 + cos (x) + cos^{2} (x) = 0

Решитe подстановкой

- 1 + cos (x) + cos^{2} (x) = 0

Допустим:

cos (x) = u

- 1 + u + u^{2} = 0

- 1 + u + u^{2} = 0 : u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

- 1 + u + u^{2} = 0

Запишите в стандартной форме

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} + u - 1 = 0

Решите с помощью квадратичной формулы

u^{2} + u - 1 = 0

Формула квадратного уравнения:

Для

a = 1, b = 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Примените правило

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Примените правило

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1

Перемножьте числа:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 + 4

Добавьте числа:

1 + 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 \cdot 1}

Разделите решения

u_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}

Перемножьте числа:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 5}{2}

u = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 - 5}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

Перемножьте числа:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 5}{2}

Решением квадратного уравнения являются:

u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

Делаем обратную замену

u = cos (x)

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2} : x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

Примените обратные тригонометрические свойства

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

Общие решения для

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 - 5}{2} :

Не имеет решения

cos (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Не имеет решения

Объедините все решения

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Объедините все решения

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Проверьте решения, вставив их в исходное уравнение

Проверьте решения, вставив их в

csc^{2} (x) = sec (x)

Удалите те, которые не согласуются с уравнением.

Проверьте решение

arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn :

Неверно

arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Подставьте

n = 1

arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

Для

csc^{2} (x) = sec (x)

подключите

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

csc^{2} (arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1) = sec (arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1)

Уточнить

1.61803 \dots = - 1.61803 \dots

\Rightarrow Неверно

Проверьте решение

- arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn :

Неверно

- arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Подставьте

n = 1

- arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

Для

csc^{2} (x) = sec (x)

подключите

x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

csc^{2} (- arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1) = sec (- arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1)

Уточнить

1.61803 \dots = - 1.61803 \dots

\Rightarrow Неверно

Проверьте решение

arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn :

Верно

arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Подставьте

n = 1

arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

Для

csc^{2} (x) = sec (x)

подключите

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

csc^{2} (arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1) = sec (arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1)

Уточнить

1.61803 \dots = 1.61803 \dots

\Rightarrow Верно

Проверьте решение

2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn :

Верно

2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Подставьте

n = 1

2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

Для

csc^{2} (x) = sec (x)

подключите

x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

csc^{2} (2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1) = sec (2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1)

Уточнить

1.61803 \dots = 1.61803 \dots

\Rightarrow Верно

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Покажите решения в десятичной форме

x = 0.90455 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.90455 \dots + 2 πn

Решение

Решение

График

Популярные примеры