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Popular Trigonometria >

sin^2(x)-cos^2(x)=cos^4(x)

Solução

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) = cos^{4} (x)

Solução

x = 0.87161 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.87161 \dots + 2 πn, x = 2.26998 \dots + 2 πn, x = - 2.26998 \dots + 2 πn

Graus

x = 49.93964 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 310.06035 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 130.06035 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 130.06035 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) = cos^{4} (x)

Subtrair

cos^{4} (x)

de ambos os lados

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) - cos^{4} (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- cos^{2} (x) - cos^{4} (x) + sin^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - cos^{2} (x) - cos^{4} (x) + 1 - cos^{2} (x)

Simplificar

- cos^{2} (x) - cos^{4} (x) + 1 - cos^{2} (x) : - 2 cos^{2} (x) - cos^{4} (x) + 1

- cos^{2} (x) - cos^{4} (x) + 1 - cos^{2} (x)

Agrupar termos semelhantes

= - cos^{2} (x) - cos^{4} (x) - cos^{2} (x) + 1

Somar elementos similares:

- cos^{2} (x) - cos^{2} (x) = - 2 cos^{2} (x)

= - 2 cos^{2} (x) - cos^{4} (x) + 1

= - 2 cos^{2} (x) - cos^{4} (x) + 1

1 - cos^{4} (x) - 2 cos^{2} (x) = 0

Usando o método de substituição

1 - cos^{4} (x) - 2 cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

1 - u^{4} - 2 u^{2} = 0

1 - u^{4} - 2 u^{2} = 0 : u = i 1 + 2, u = - i 1 + 2, u = 2 - 1, u = - 2 - 1

1 - u^{4} - 2 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- u^{4} - 2 u^{2} + 1 = 0

Reescrever a equação com

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

- v^{2} - 2 v + 1 = 0

Resolver

- v^{2} - 2 v + 1 = 0 : v = - 1 - 2, v = 2 - 1

- v^{2} - 2 v + 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- v^{2} - 2 v + 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 1, b = - 2, c = 1

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 = 22

(- 2)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} + 4

2^{2} = 4

= 4 + 4

Somar:

4 + 4 = 8

= 8

Decomposição em fatores primos de

8 : 2^{3}

8

8

dividida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

dividida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, não é possível fatorá-lo mais

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Aplicar as propriedades dos radicais:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 2}{2 ( - 1 )}

Separe as soluções

v_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 ( - 1 )}, v_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 ( - 1 )}

v = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 ( - 1 )} : - 1 - 2

\frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 2 2}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 + 2 2}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 + 2 2}{2}

Cancelar

\frac{2 + 2 2}{2} : 1 + 2

\frac{2 + 2 2}{2}

Fatorar

2 + 22 : 2 (1 + 2)

2 + 22

Reescrever como

= 2 \cdot 1 + 22

Fatorar o termo comum

2

= 2 (1 + 2)

= \frac{2 ( 1 + 2 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 1 + 2

= - (1 + 2)

Colocar os parênteses

= - (1) - (2)

Aplicar as regras dos sinais

+ (- a) = - a

= - 1 - 2

v = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 ( - 1 )} : 2 - 1

\frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 2 2}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 - 2 2}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

2 - 22 = - (22 - 2)

= \frac{2 2 - 2}{2}

Fatorar

22 - 2 : 2 (2 - 1)

22 - 2

Reescrever como

= 22 - 2 \cdot 1

Fatorar o termo comum

2

= 2 (2 - 1)

= \frac{2 ( 2 - 1 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 2 - 1

As soluções para a equação de segundo grau são:

v = - 1 - 2, v = 2 - 1

v = - 1 - 2, v = 2 - 1

Substitua

v = u^{2},

solucione para

u

Resolver

u^{2} = - 1 - 2 : u = i 1 + 2, u = - i 1 + 2

u^{2} = - 1 - 2

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = - 1 - 2, u = - - 1 - 2

Simplificar

- 1 - 2 : i 1 + 2

- 1 - 2

Aplicar as propriedades dos números complexos:

- a = i a

= i 1 + 2

Simplificar

- - 1 - 2 : - i 1 + 2

- - 1 - 2

Aplicar as propriedades dos números complexos:

- a = i a

= - i 1 + 2

u = i 1 + 2, u = - i 1 + 2

Resolver

u^{2} = 2 - 1 : u = 2 - 1, u = - 2 - 1

u^{2} = 2 - 1

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = 2 - 1, u = - 2 - 1

As soluções são

u = i 1 + 2, u = - i 1 + 2, u = 2 - 1, u = - 2 - 1

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = i 1 + 2, cos (x) = - i 1 + 2, cos (x) = 2 - 1, cos (x) = - 2 - 1

cos (x) = i 1 + 2, cos (x) = - i 1 + 2, cos (x) = 2 - 1, cos (x) = - 2 - 1

cos (x) = i 1 + 2 :

Sem solução

cos (x) = i 1 + 2

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cos (x) = - i 1 + 2 :

Sem solução

cos (x) = - i 1 + 2

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cos (x) = 2 - 1 : x = arccos (2 - 1) + 2 πn, x = 2 π - arccos (2 - 1) + 2 πn

cos (x) = 2 - 1

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = 2 - 1

Soluções gerais para

cos (x) = 2 - 1

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (2 - 1) + 2 πn, x = 2 π - arccos (2 - 1) + 2 πn

x = arccos (2 - 1) + 2 πn, x = 2 π - arccos (2 - 1) + 2 πn

cos (x) = - 2 - 1 : x = arccos (- 2 - 1) + 2 πn, x = - arccos (- 2 - 1) + 2 πn

cos (x) = - 2 - 1

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = - 2 - 1

Soluções gerais para

cos (x) = - 2 - 1

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- 2 - 1) + 2 πn, x = - arccos (- 2 - 1) + 2 πn

x = arccos (- 2 - 1) + 2 πn, x = - arccos (- 2 - 1) + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = arccos (2 - 1) + 2 πn, x = 2 π - arccos (2 - 1) + 2 πn, x = arccos (- 2 - 1) + 2 πn, x = - arccos (- 2 - 1) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = 0.87161 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.87161 \dots + 2 πn, x = 2.26998 \dots + 2 πn, x = - 2.26998 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

sin^2(x)+2cos^2(x)=1

sin^{2} (x) + 2 cos^{2} (x) = 1

(sin^2(a)+1)/(tan^2(a))=1

\frac{sin ^{2} ( a ) + 1}{tan ^{2} ( a )} = 1

2cos^2(x)=-3sin(x)cos(x)

2 cos^{2} (x) = - 3 sin (x) cos (x)

4cos^2(x)=sin^2(x)+3

4 cos^{2} (x) = sin^{2} (x) + 3

2cos^2(x)-sin^2(x)-2sin(x)=0

2 cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - 2 sin (x) = 0