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Populaire Trigonométrie >

sin(x)=cos^3(x)

Solution

sin (x) = cos^{3} (x)

Solution

x = 0.59876 \dots + 2 πn, x = - 2.54282 \dots + 2 πn

Degrés

x = 34.30680 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 145.69319 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

sin (x) = cos^{3} (x)

Mettre les deux côtés au carré

sin^{2} (x) = (cos^{3} (x))^{2}

Soustraire

(cos^{3} (x))^{2}

des deux côtés

sin^{2} (x) - cos^{6} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- cos^{6} (x) + sin^{2} (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - cos^{6} (x) + 1 - cos^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) - cos^{6} (x) = 0

Résoudre par substitution

1 - cos^{2} (x) - cos^{6} (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

1 - u^{2} - u^{6} = 0

1 - u^{2} - u^{6} = 0 : u = 0.68232 \dots, u = - 0.68232 \dots

1 - u^{2} - u^{6} = 0

Ecrire sous la forme standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- u^{6} - u^{2} + 1 = 0

Récrire l'équation avec

v = u^{2}

v^{3} = u^{6}

- v^{3} - v + 1 = 0

Résoudre

- v^{3} - v + 1 = 0 : v \approx 0.68232 \dots

- v^{3} - v + 1 = 0

Trouver une solution pour

- v^{3} - v + 1 = 0

par la méthode de Newton-Raphson:

v \approx 0.68232 \dots

- v^{3} - v + 1 = 0

Définition de l'approximation de Newton-Raphson

f (v) = - v^{3} - v + 1

Trouver

f^{^{'}} (v) : - 3 v^{2} - 1

\frac{d}{d v} (- v^{3} - v + 1)

Appliquer la règle de l'addition/soustraction:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= - \frac{d}{d v} (v^{3}) - \frac{d v}{d v} + \frac{d}{d v} (1)

\frac{d}{d v} (v^{3}) = 3 v^{2}

\frac{d}{d v} (v^{3})

Appliquer la règle de la puissance:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 3 v^{3 - 1}

Simplifier

= 3 v^{2}

\frac{d v}{d v} = 1

\frac{d v}{d v}

Appliquer la dérivée commune:

\frac{d v}{d v} = 1

= 1

\frac{d}{d v} (1) = 0

\frac{d}{d v} (1)

Dérivée d'une constante:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= - 3 v^{2} - 1 + 0

Simplifier

= - 3 v^{2} - 1

Soit

v_{0} = 1

Calculer

v_{n + 1}

jusqu'à

Δ v_{n + 1} < 0.000001

v_{1} = 0.75 : Δ v_{1} = 0.25

f (v_{0}) = - 1^{3} - 1 + 1 = - 1

f^{^{'}} (v_{0}) = - 3 \cdot 1^{2} - 1 = - 4

v_{1} = 0.75

Δ v_{1} = ∣ 0.75 - 1 ∣ = 0.25

Δ v_{1} = 0.25

v_{2} = 0.68604 \dots : Δ v_{2} = 0.06395 \dots

f (v_{1}) = - 0.7 5^{3} - 0.75 + 1 = - 0.171875

f^{^{'}} (v_{1}) = - 3 \cdot 0.7 5^{2} - 1 = - 2.6875

v_{2} = 0.68604 \dots

Δ v_{2} = ∣ 0.68604 \dots - 0.75 ∣ = 0.06395 \dots

Δ v_{2} = 0.06395 \dots

v_{3} = 0.68233 \dots : Δ v_{3} = 0.00370 \dots

f (v_{2}) = - 0.68604 \dots^{3} - 0.68604 \dots + 1 = - 0.00894 \dots

f^{^{'}} (v_{2}) = - 3 \cdot 0.68604 \dots^{2} - 1 = - 2.41197 \dots

v_{3} = 0.68233 \dots

Δ v_{3} = ∣ 0.68233 \dots - 0.68604 \dots ∣ = 0.00370 \dots

Δ v_{3} = 0.00370 \dots

v_{4} = 0.68232 \dots : Δ v_{4} = 0.00001 \dots

f (v_{3}) = - 0.68233 \dots^{3} - 0.68233 \dots + 1 = - 0.00002 \dots

f^{^{'}} (v_{3}) = - 3 \cdot 0.68233 \dots^{2} - 1 = - 2.39676 \dots

v_{4} = 0.68232 \dots

Δ v_{4} = ∣ 0.68232 \dots - 0.68233 \dots ∣ = 0.00001 \dots

Δ v_{4} = 0.00001 \dots

v_{5} = 0.68232 \dots : Δ v_{5} = 1.18493 E - 10

f (v_{4}) = - 0.68232 \dots^{3} - 0.68232 \dots + 1 = - 2.83995 E - 10

f^{^{'}} (v_{4}) = - 3 \cdot 0.68232 \dots^{2} - 1 = - 2.39671 \dots

v_{5} = 0.68232 \dots

Δ v_{5} = ∣ 0.68232 \dots - 0.68232 \dots ∣ = 1.18493 E - 10

Δ v_{5} = 1.18493 E - 10

v \approx 0.68232 \dots

Appliquer une division longue:

\frac{- v ^{3} - v + 1}{v - 0.68232 \dots} = - v^{2} - 0.68232 \dots v - 1.46557 \dots

- v^{2} - 0.68232 \dots v - 1.46557 \dots \approx 0

Trouver une solution pour

- v^{2} - 0.68232 \dots v - 1.46557 \dots = 0

par la méthode de Newton-Raphson:

Aucune solution pour

v \in R

- v^{2} - 0.68232 \dots v - 1.46557 \dots = 0

Définition de l'approximation de Newton-Raphson

f (v) = - v^{2} - 0.68232 \dots v - 1.46557 \dots

Trouver

f^{^{'}} (v) : - 2 v - 0.68232 \dots

\frac{d}{d v} (- v^{2} - 0.68232 \dots v - 1.46557 \dots)

Appliquer la règle de l'addition/soustraction:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= - \frac{d}{d v} (v^{2}) - \frac{d}{d v} (0.68232 \dots v) - \frac{d}{d v} (1.46557 \dots)

\frac{d}{d v} (v^{2}) = 2 v

\frac{d}{d v} (v^{2})

Appliquer la règle de la puissance:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 2 v^{2 - 1}

Simplifier

= 2 v

\frac{d}{d v} (0.68232 \dots v) = 0.68232 \dots

\frac{d}{d v} (0.68232 \dots v)

Retirer la constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 0.68232 \dots \frac{d v}{d v}

Appliquer la dérivée commune:

\frac{d v}{d v} = 1

= 0.68232 \dots \cdot 1

Simplifier

= 0.68232 \dots

\frac{d}{d v} (1.46557 \dots) = 0

\frac{d}{d v} (1.46557 \dots)

Dérivée d'une constante:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= - 2 v - 0.68232 \dots - 0

Simplifier

= - 2 v - 0.68232 \dots

Soit

v_{0} = - 2

Calculer

v_{n + 1}

jusqu'à

Δ v_{n + 1} < 0.000001

v_{1} = - 0.76391 \dots : Δ v_{1} = 1.23608 \dots

f (v_{0}) = - (- 2)^{2} - 0.68232 \dots (- 2) - 1.46557 \dots = - 4.10091 \dots

f^{^{'}} (v_{0}) = - 2 (- 2) - 0.68232 \dots = 3.31767 \dots

v_{1} = - 0.76391 \dots

Δ v_{1} = ∣ - 0.76391 \dots - (- 2) ∣ = 1.23608 \dots

Δ v_{1} = 1.23608 \dots

v_{2} = 1.04316 \dots : Δ v_{2} = 1.80707 \dots

f (v_{1}) = - (- 0.76391 \dots)^{2} - 0.68232 \dots (- 0.76391 \dots) - 1.46557 \dots = - 1.52789 \dots

f^{^{'}} (v_{1}) = - 2 (- 0.76391 \dots) - 0.68232 \dots = 0.84550 \dots

v_{2} = 1.04316 \dots

Δ v_{2} = ∣ 1.04316 \dots - (- 0.76391 \dots) ∣ = 1.80707 \dots

Δ v_{2} = 1.80707 \dots

v_{3} = - 0.13630 \dots : Δ v_{3} = 1.17946 \dots

f (v_{2}) = - 1.04316 \dots^{2} - 0.68232 \dots \cdot 1.04316 \dots - 1.46557 \dots = - 3.26553 \dots

f^{^{'}} (v_{2}) = - 2 \cdot 1.04316 \dots - 0.68232 \dots = - 2.76865 \dots

v_{3} = - 0.13630 \dots

Δ v_{3} = ∣ - 0.13630 \dots - 1.04316 \dots ∣ = 1.17946 \dots

Δ v_{3} = 1.17946 \dots

v_{4} = - 3.53171 \dots : Δ v_{4} = 3.39540 \dots

f (v_{3}) = - (- 0.13630 \dots)^{2} - 0.68232 \dots (- 0.13630 \dots) - 1.46557 \dots = - 1.39114 \dots

f^{^{'}} (v_{3}) = - 2 (- 0.13630 \dots) - 0.68232 \dots = - 0.40971 \dots

v_{4} = - 3.53171 \dots

Δ v_{4} = ∣ - 3.53171 \dots - (- 0.13630 \dots) ∣ = 3.39540 \dots

Δ v_{4} = 3.39540 \dots

v_{5} = - 1.72500 \dots : Δ v_{5} = 1.80670 \dots

f (v_{4}) = - (- 3.53171 \dots)^{2} - 0.68232 \dots (- 3.53171 \dots) - 1.46557 \dots = - 11.52876 \dots

f^{^{'}} (v_{4}) = - 2 (- 3.53171 \dots) - 0.68232 \dots = 6.38109 \dots

v_{5} = - 1.72500 \dots

Δ v_{5} = ∣ - 1.72500 \dots - (- 3.53171 \dots) ∣ = 1.80670 \dots

Δ v_{5} = 1.80670 \dots

v_{6} = - 0.54560 \dots : Δ v_{6} = 1.17939 \dots

f (v_{5}) = - (- 1.72500 \dots)^{2} - 0.68232 \dots (- 1.72500 \dots) - 1.46557 \dots = - 3.26419 \dots

f^{^{'}} (v_{5}) = - 2 (- 1.72500 \dots) - 0.68232 \dots = 2.76767 \dots

v_{6} = - 0.54560 \dots

Δ v_{6} = ∣ - 0.54560 \dots - (- 1.72500 \dots) ∣ = 1.17939 \dots

Δ v_{6} = 1.17939 \dots

v_{7} = 2.85625 \dots : Δ v_{7} = 3.40185 \dots

f (v_{6}) = - (- 0.54560 \dots)^{2} - 0.68232 \dots (- 0.54560 \dots) - 1.46557 \dots = - 1.39097 \dots

f^{^{'}} (v_{6}) = - 2 (- 0.54560 \dots) - 0.68232 \dots = 0.40888 \dots

v_{7} = 2.85625 \dots

Δ v_{7} = ∣ 2.85625 \dots - (- 0.54560 \dots) ∣ = 3.40185 \dots

Δ v_{7} = 3.40185 \dots

v_{8} = 1.04656 \dots : Δ v_{8} = 1.80968 \dots

f (v_{7}) = - 2.85625 \dots^{2} - 0.68232 \dots \cdot 2.85625 \dots - 1.46557 \dots = - 11.57264 \dots

f^{^{'}} (v_{7}) = - 2 \cdot 2.85625 \dots - 0.68232 \dots = - 6.39483 \dots

v_{8} = 1.04656 \dots

Δ v_{8} = ∣ 1.04656 \dots - 2.85625 \dots ∣ = 1.80968 \dots

Δ v_{8} = 1.80968 \dots

v_{9} = - 0.13340 \dots : Δ v_{9} = 1.17997 \dots

f (v_{8}) = - 1.04656 \dots^{2} - 0.68232 \dots \cdot 1.04656 \dots - 1.46557 \dots = - 3.27496 \dots

f^{^{'}} (v_{8}) = - 2 \cdot 1.04656 \dots - 0.68232 \dots = - 2.77545 \dots

v_{9} = - 0.13340 \dots

Δ v_{9} = ∣ - 0.13340 \dots - 1.04656 \dots ∣ = 1.17997 \dots

Δ v_{9} = 1.17997 \dots

v_{10} = - 3.48434 \dots : Δ v_{10} = 3.35093 \dots

f (v_{9}) = - (- 0.13340 \dots)^{2} - 0.68232 \dots (- 0.13340 \dots) - 1.46557 \dots = - 1.39234 \dots

f^{^{'}} (v_{9}) = - 2 (- 0.13340 \dots) - 0.68232 \dots = - 0.41550 \dots

v_{10} = - 3.48434 \dots

Δ v_{10} = ∣ - 3.48434 \dots - (- 0.13340 \dots) ∣ = 3.35093 \dots

Δ v_{10} = 3.35093 \dots

Impossible de trouver une solution

La solution est

v \approx 0.68232 \dots

v \approx 0.68232 \dots

Resubstituer

v = u^{2},

résoudre pour

u

Résoudre

u^{2} = 0.68232 \dots : u = 0.68232 \dots, u = - 0.68232 \dots

u^{2} = 0.68232 \dots

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

u = 0.68232 \dots, u = - 0.68232 \dots

Les solutions sont

u = 0.68232 \dots, u = - 0.68232 \dots

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = 0.68232 \dots, cos (x) = - 0.68232 \dots

cos (x) = 0.68232 \dots, cos (x) = - 0.68232 \dots

cos (x) = 0.68232 \dots : x = arccos (0.68232 \dots) + 2 πn, x = 2 π - arccos (0.68232 \dots) + 2 πn

cos (x) = 0.68232 \dots

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = 0.68232 \dots

Solutions générales pour

cos (x) = 0.68232 \dots

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (0.68232 \dots) + 2 πn, x = 2 π - arccos (0.68232 \dots) + 2 πn

x = arccos (0.68232 \dots) + 2 πn, x = 2 π - arccos (0.68232 \dots) + 2 πn

cos (x) = - 0.68232 \dots : x = arccos (- 0.68232 \dots) + 2 πn, x = - arccos (- 0.68232 \dots) + 2 πn

cos (x) = - 0.68232 \dots

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = - 0.68232 \dots

Solutions générales pour

cos (x) = - 0.68232 \dots

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- 0.68232 \dots) + 2 πn, x = - arccos (- 0.68232 \dots) + 2 πn

x = arccos (- 0.68232 \dots) + 2 πn, x = - arccos (- 0.68232 \dots) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = arccos (0.68232 \dots) + 2 πn, x = 2 π - arccos (0.68232 \dots) + 2 πn, x = arccos (- 0.68232 \dots) + 2 πn, x = - arccos (- 0.68232 \dots) + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

sin (x) = cos^{3} (x)

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

arccos (0.68232 \dots) + 2 πn :

vrai

arccos (0.68232 \dots) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (0.68232 \dots) + 2 π 1

Pour

sin (x) = cos^{3} (x)

insérer

x = arccos (0.68232 \dots) + 2 π 1

sin (arccos (0.68232 \dots) + 2 π 1) = cos^{3} (arccos (0.68232 \dots) + 2 π 1)

Redéfinir

0.56362 \dots = 0.56362 \dots

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

2 π - arccos (0.68232 \dots) + 2 πn :

Faux

2 π - arccos (0.68232 \dots) + 2 πn

Insérer

n = 1

2 π - arccos (0.68232 \dots) + 2 π 1

Pour

sin (x) = cos^{3} (x)

insérer

x = 2 π - arccos (0.68232 \dots) + 2 π 1

sin (2 π - arccos (0.68232 \dots) + 2 π 1) = cos^{3} (2 π - arccos (0.68232 \dots) + 2 π 1)

Redéfinir

- 0.56362 \dots = 0.56362 \dots

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

arccos (- 0.68232 \dots) + 2 πn :

Faux

arccos (- 0.68232 \dots) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (- 0.68232 \dots) + 2 π 1

Pour

sin (x) = cos^{3} (x)

insérer

x = arccos (- 0.68232 \dots) + 2 π 1

sin (arccos (- 0.68232 \dots) + 2 π 1) = cos^{3} (arccos (- 0.68232 \dots) + 2 π 1)

Redéfinir

0.56362 \dots = - 0.56362 \dots

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

- arccos (- 0.68232 \dots) + 2 πn :

vrai

- arccos (- 0.68232 \dots) + 2 πn

Insérer

n = 1

- arccos (- 0.68232 \dots) + 2 π 1

Pour

sin (x) = cos^{3} (x)

insérer

x = - arccos (- 0.68232 \dots) + 2 π 1

sin (- arccos (- 0.68232 \dots) + 2 π 1) = cos^{3} (- arccos (- 0.68232 \dots) + 2 π 1)

Redéfinir

- 0.56362 \dots = - 0.56362 \dots

\Rightarrow vrai

x = arccos (0.68232 \dots) + 2 πn, x = - arccos (- 0.68232 \dots) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 0.59876 \dots + 2 πn, x = - 2.54282 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

a=((1+sin^2(x)))/((1-sin^2(x)))

a = \frac{( 1 + sin ^{2} ( x ) )}{( 1 - sin ^{2} ( x ) )}

solvefor x,b*f=sin^3(x)

so l v e f or x, b \cdot f = sin^{3} (x)

2sin^2(x)+sin^3(x)-1=0

2 sin^{2} (x) + sin^{3} (x) - 1 = 0

2cos^2(x)=3cos(x)-1

2 cos^{2} (x) = 3 cos (x) - 1

sin^2(x)-4sin(x)+4=0

sin^{2} (x) - 4 sin (x) + 4 = 0