integral of 1/(2xsqrt(1-4x^2))

Lösung

\int \frac{1}{2 x 1 - 4 x ^{2}} d x

- \frac{1}{4} (ln 1 - 4 x^{2} + 1 - ln 1 - 4 x^{2} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{2 x 1 - 4 x ^{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{x 1 - 4 x ^{2}} d x

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

Faktorisiere

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= \frac{1}{2} (- (\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}))

Setze in

u = 1 - 4 x^{2}

ein

= \frac{1}{2} (- (\frac{ln 1 - 4 x ^{2} + 1}{2} - \frac{ln 1 - 4 x ^{2} - 1}{2}))

Vereinfache

\frac{1}{2} (- (\frac{ln 1 - 4 x ^{2} + 1}{2} - \frac{ln 1 - 4 x ^{2} - 1}{2})) : - \frac{1}{4} (ln 1 - 4 x^{2} + 1 - ln 1 - 4 x^{2} - 1)

= - \frac{1}{4} (ln 1 - 4 x^{2} + 1 - ln 1 - 4 x^{2} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{4} (ln 1 - 4 x^{2} + 1 - ln 1 - 4 x^{2} - 1) + C

\int 3 (2 x - 3)^{4} d x

\int \frac{7}{1 - 49 x ^{2}} d x

\int (2 x - 1)^{7} d x

\int \frac{1}{4 3 x ^{4}} d x

\int \frac{1}{2 v} d v