integral of (sqrt(x))/(a+2x)

Lösung

\int \frac{x}{a + 2 x} d x

- \frac{1}{2} a arctan (2 \frac{x}{a}) + x + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x}{a + 2 x} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u - a}{2 2 u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2 2} \cdot \int \frac{u - a}{u} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2 2} \cdot \int \frac{2 v ^{2}}{v ^{2} + a} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2 2} \cdot 2 \cdot \int \frac{v ^{2}}{v ^{2} + a} d v

\frac{v ^{2}}{v ^{2} + a} = - \frac{a}{v ^{2} + a} + 1

= \frac{1}{2 2} \cdot 2 \cdot \int - \frac{a}{v ^{2} + a} + 1 d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2 2} \cdot 2 (- \int \frac{a}{v ^{2} + a} d v + \int 1 d v)

\int \frac{a}{v ^{2} + a} d v = a arctan (\frac{1}{a} v)

\int 1 d v = v

= \frac{1}{2 2} \cdot 2 (- a arctan (\frac{1}{a} v) + v)

Ersetze zurück

= \frac{1}{2 2} \cdot 2 (- a arctan (\frac{1}{a} a + 2 x - a) + a + 2 x - a)

Vereinfache

\frac{1}{2 2} \cdot 2 (- a arctan (\frac{1}{a} a + 2 x - a) + a + 2 x - a) : - \frac{1}{2} a arctan (2 \frac{x}{a}) + x

= - \frac{1}{2} a arctan (2 \frac{x}{a}) + x

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{2} a arctan (2 \frac{x}{a}) + x + C

\int 4^{x + \frac{1}{2}} d x

\int y^{2} 4 - y d y

\int x cos^{2} (2 x^{2}) sin (2 x^{2}) d x

\int \frac{1}{1 + ( 1 - x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} d x

\int y 9 - y^{2} d y