integral of x^2 2/(1+x^3)

解

\int x^{2} \frac{2}{1 + x ^{3}} d x

2 (\frac{x ^{3}}{3 ( 1 + x ^{3} )} + \frac{1}{3} (ln x^{3} + 1 + \frac{1}{x ^{3} + 1})) + C

解答ステップ

\int x^{2} \frac{2}{1 + x ^{3}} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int x^{2} \frac{1}{1 + x ^{3}} d x

部分積分を適用する

= 2 (\frac{x ^{3}}{3 ( 1 + x ^{3} )} - \int - \frac{x ^{5}}{( 1 + x ^{3} ) ^{2}} d x)

\int - \frac{x ^{5}}{( 1 + x ^{3} ) ^{2}} d x = - \frac{1}{3} (ln x^{3} + 1 + \frac{1}{x ^{3} + 1})

= 2 (\frac{x ^{3}}{3 ( 1 + x ^{3} )} - (- \frac{1}{3} (ln x^{3} + 1 + \frac{1}{x ^{3} + 1})))

簡素化

= 2 (\frac{x ^{3}}{3 ( 1 + x ^{3} )} + \frac{1}{3} (ln x^{3} + 1 + \frac{1}{x ^{3} + 1}))

定数を解答に追加する

= 2 (\frac{x ^{3}}{3 ( 1 + x ^{3} )} + \frac{1}{3} (ln x^{3} + 1 + \frac{1}{x ^{3} + 1})) + C