integral of (e^{2x}-2x)^2

Lösung

\int (e^{2 x} - 2 x)^{2} d x

\frac{1}{4} e^{4 x} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + \frac{4 x ^{3}}{3} + C

Schritte zur Lösung

\int (e^{2 x} - 2 x)^{2} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{( e ^{u} - u ) ^{2}}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int (e^{u} - u)^{2} d u

Multipliziere aus

(e^{u} - u)^{2} : e^{2 u} - 2 e^{u} u + u^{2}

= \frac{1}{2} \cdot \int e^{2 u} - 2 e^{u} u + u^{2} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int e^{2 u} d u - \int 2 e^{u} u d u + \int u^{2} d u)

\int e^{2 u} d u = \frac{1}{2} e^{2 u}

\int 2 e^{u} u d u = 2 (e^{u} u - e^{u})

\int u^{2} d u = \frac{u ^{3}}{3}

= \frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{2 u} - 2 (e^{u} u - e^{u}) + \frac{u ^{3}}{3})

Setze in

u = 2 x

ein

= \frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x}) + \frac{( 2 x ) ^{3}}{3})

Vereinfache

\frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{2 \cdot 2 x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x}) + \frac{( 2 x ) ^{3}}{3}) : \frac{1}{4} e^{4 x} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + \frac{4 x ^{3}}{3}

= \frac{1}{4} e^{4 x} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + \frac{4 x ^{3}}{3}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{4} e^{4 x} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + \frac{4 x ^{3}}{3} + C