integral of e^{ax}*sin(bx)

Lösung

\int e^{a x} \cdot sin (b x) d x

- \frac{b e ^{a x} cos ( b x )}{b ^{2} + a ^{2}} + \frac{a e ^{a x} sin ( b x )}{b ^{2} + a ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int e^{a x} sin (b x) d x

Wende die partielle Integration an

= - e^{a x} \frac{1}{b} cos (b x) - \int - a e^{a x} \frac{1}{b} cos (b x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{a x} \frac{1}{b} cos (b x) - (- a \frac{1}{b} \cdot \int e^{a x} cos (b x) d x)

Vereinfache

- a \frac{1}{b} : - \frac{a}{b}

= - e^{a x} \frac{1}{b} cos (b x) - (- \frac{a}{b} \cdot \int e^{a x} cos (b x) d x)

Wende die partielle Integration an

= - e^{a x} \frac{1}{b} cos (b x) - (- \frac{a}{b} (e^{a x} \frac{1}{b} sin (b x) - \int e^{a x} a \frac{1}{b} sin (b x) d x))

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{a x} \frac{1}{b} cos (b x) - (- \frac{a}{b} (e^{a x} \frac{1}{b} sin (b x) - a \frac{1}{b} \cdot \int e^{a x} sin (b x) d x))

Vereinfache

a \frac{1}{b} : \frac{a}{b}

= - e^{a x} \frac{1}{b} cos (b x) - (- \frac{a}{b} (e^{a x} \frac{1}{b} sin (b x) - \frac{a}{b} \cdot \int e^{a x} sin (b x) d x))

Deshalb

\int e^{a x} sin (b x) d x = - e^{a x} \frac{1}{b} cos (b x) - (- \frac{a}{b} (e^{a x} \frac{1}{b} sin (b x) - \frac{a}{b} \cdot \int e^{a x} sin (b x) d x))

Isoliere

\int e^{a x} sin (b x) d x

= - \frac{b e ^{a x} cos ( b x )}{b ^{2} + a ^{2}} + \frac{a e ^{a x} sin ( b x )}{b ^{2} + a ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{b e ^{a x} cos ( b x )}{b ^{2} + a ^{2}} + \frac{a e ^{a x} sin ( b x )}{b ^{2} + a ^{2}} + C

\int \frac{- y + 2}{3 ( y ^{2} - y + 1 )} d y

\int \frac{e ^{- 3 x}}{2 + e ^{- 3 x}} d x

\int (2 x^{7} + 3 x - 9)^{\frac{1}{4}} (14 x^{6} + 3) d x

\int (x + 67) cos (x) d x

\int - 6 e^{3 t} d t