integral of (e^xsin(x))/(sec(x))

Lösung

\int \frac{e ^{x} sin ( x )}{sec ( x )} d x

- \frac{e ^{x} cos ( 2 x )}{5} + \frac{e ^{x} sin ( 2 x )}{10} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{e ^{x} sin ( x )}{sec ( x )} d x

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{1}{sec ( x )} = cos (x)

= \int e^{x} sin (x) cos (x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1}{2} e^{x} sin (2 x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int e^{x} sin (2 x) d x

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{x} cos (2 x) - \int - \frac{1}{2} e^{x} cos (2 x) d x)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{x} cos (2 x) - (- \frac{1}{2} \cdot \int e^{x} cos (2 x) d x))

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{x} cos (2 x) - (- \frac{1}{2} (e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) - \int e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) d x)))

Deshalb

\int e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) d x = \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{x} cos (2 x) - (- \frac{1}{2} (e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) - \int e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) d x)))

Isoliere

\int e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) d x

= - \frac{e ^{x} cos ( 2 x )}{5} + \frac{e ^{x} sin ( 2 x )}{10}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{e ^{x} cos ( 2 x )}{5} + \frac{e ^{x} sin ( 2 x )}{10} + C