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integral of (e^x)/(e^{2x)+2e^x-8}

Lösung

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 2 e ^{x} - 8} d x

Lösung

\frac{1}{6} ln ∣ e^{x} - 2 ∣ - \frac{1}{6} ln ∣ e^{x} + 4 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 2 e ^{x} - 8} d x

Faktorisiere

\frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 2 e ^{x} - 8}

= \int \frac{e ^{x}}{( e ^{x} - 2 ) ( e ^{x} + 4 )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{( u - 2 ) ( u + 4 )} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{( u - 2 ) ( u + 4 )} : \frac{1}{6 ( u - 2 )} - \frac{1}{6 ( u + 4 )}

= \int \frac{1}{6 ( u - 2 )} - \frac{1}{6 ( u + 4 )} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{6 ( u - 2 )} d u - \int \frac{1}{6 ( u + 4 )} d u

\int \frac{1}{6 ( u - 2 )} d u = \frac{1}{6} ln ∣ u - 2 ∣

\int \frac{1}{6 ( u + 4 )} d u = \frac{1}{6} ln ∣ u + 4 ∣

= \frac{1}{6} ln ∣ u - 2 ∣ - \frac{1}{6} ln ∣ u + 4 ∣

Setze in

u = e^{x}

ein

= \frac{1}{6} ln ∣ e^{x} - 2 ∣ - \frac{1}{6} ln ∣ e^{x} + 4 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{6} ln ∣ e^{x} - 2 ∣ - \frac{1}{6} ln ∣ e^{x} + 4 ∣ + C

Graph

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