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Popular Trigonometria >

6sec(x)+6tan(x)=6

Solução

6 sec (x) + 6 tan (x) = 6

Solução

x = 2 πn + 2 π

Graus

x = 36 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

6 sec (x) + 6 tan (x) = 6

Subtrair

6

de ambos os lados

6 sec (x) + 6 tan (x) - 6 = 0

Expresar com seno, cosseno

6 \cdot \frac{1}{cos ( x )} + 6 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 6 = 0

Simplificar

6 \cdot \frac{1}{cos ( x )} + 6 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 6 : \frac{6 + 6 sin ( x ) - 6 cos ( x )}{cos ( x )}

6 \cdot \frac{1}{cos ( x )} + 6 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 6

6 \cdot \frac{1}{cos ( x )} = \frac{6}{cos ( x )}

6 \cdot \frac{1}{cos ( x )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 6}{cos ( x )}

Multiplicar os números:

1 \cdot 6 = 6

= \frac{6}{cos ( x )}

6 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{6 sin ( x )}{cos ( x )}

6 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 6}{cos ( x )}

= \frac{6}{cos ( x )} + \frac{6 sin ( x )}{cos ( x )} - 6

Combinar as frações usando o mínimo múltiplo comum:

\frac{6 + 6 sin ( x )}{cos ( x )}

Aplicar a regra

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{6 + 6 sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{6 sin ( x ) + 6}{cos ( x )} - 6

Converter para fração:

6 = \frac{6 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{6 + sin ( x ) \cdot 6}{cos ( x )} - \frac{6 cos ( x )}{cos ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{6 + sin ( x ) \cdot 6 - 6 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{6 + 6 sin ( x ) - 6 cos ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

6 + 6 sin (x) - 6 cos (x) = 0

Adicionar

6 cos (x)

a ambos os lados

6 + 6 sin (x) = 6 cos (x)

Elevar ambos os lados ao quadrado

(6 + 6 sin (x))^{2} = (6 cos (x))^{2}

Subtrair

(6 cos (x))^{2}

de ambos os lados

(6 + 6 sin (x))^{2} - 36 cos^{2} (x) = 0

Fatorar

(6 + 6 sin (x))^{2} - 36 cos^{2} (x) : 36 (1 + sin (x) + cos (x)) (1 + sin (x) - cos (x))

(6 + 6 sin (x))^{2} - 36 cos^{2} (x)

Reescrever

(6 + 6 sin (x))^{2} - 36 cos^{2} (x)

como

(6 + 6 sin (x))^{2} - (6 cos (x))^{2}

(6 + 6 sin (x))^{2} - 36 cos^{2} (x)

Reescrever

36

como

6^{2}

= (6 + 6 sin (x))^{2} - 6^{2} cos^{2} (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

6^{2} cos^{2} (x) = (6 cos (x))^{2}

= (6 + 6 sin (x))^{2} - (6 cos (x))^{2}

= (6 + 6 sin (x))^{2} - (6 cos (x))^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(6 + 6 sin (x))^{2} - (6 cos (x))^{2} = ((6 + 6 sin (x)) + 6 cos (x)) ((6 + 6 sin (x)) - 6 cos (x))

= ((6 + 6 sin (x)) + 6 cos (x)) ((6 + 6 sin (x)) - 6 cos (x))

Simplificar

= (6 sin (x) + 6 cos (x) + 6) (6 sin (x) - 6 cos (x) + 6)

Fatorar

6 + 6 sin (x) + 6 cos (x) : 6 (1 + sin (x) + cos (x))

6 + 6 sin (x) + 6 cos (x)

Fatorar o termo comum

6

= 6 (1 + sin (x) + cos (x))

= 6 (sin (x) + cos (x) + 1) (6 sin (x) - 6 cos (x) + 6)

Fatorar

6 + 6 sin (x) - 6 cos (x) : 6 (1 + sin (x) - cos (x))

6 + 6 sin (x) - 6 cos (x)

Fatorar o termo comum

6

= 6 (1 + sin (x) - cos (x))

= 6 (1 + sin (x) + cos (x)) \cdot 6 (1 + sin (x) - cos (x))

Simplificar

= 36 (1 + sin (x) + cos (x)) (1 + sin (x) - cos (x))

36 (1 + sin (x) + cos (x)) (1 + sin (x) - cos (x)) = 0

Resolver cada parte separadamente

1 + sin (x) + cos (x) = 0 or 1 + sin (x) - cos (x) = 0

1 + sin (x) + cos (x) = 0 : x = 2 πn + π, x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

1 + sin (x) + cos (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

1 + sin (x) + cos (x)

sin (x) + cos (x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

sin (x) + cos (x)

Reescrever como

= 2 (\frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} cos (x))

Utilizar a seguinte identidade trivial:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Utilizar a seguinte identidade trivial:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (x) + sin (\frac{π}{4}) cos (x))

Use a identidade de soma de ângulos:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= 2 sin (x + \frac{π}{4})

= 1 + 2 sin (x + \frac{π}{4})

1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Mova

1

para o lado direito

1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

Dividir ambos os lados por

2

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} : sin (x + \frac{π}{4})

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= sin (x + \frac{π}{4})

Simplificar

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Racionalizar

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

Soluções gerais para

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Resolver

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn : x = 2 πn + π

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Mova

\frac{π}{4}

para o lado direito

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Subtrair

\frac{π}{4}

de ambos os lados

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Somar elementos similares:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= x

Simplificar

\frac{5 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + π

\frac{5 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Agrupar termos semelhantes

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{5 π}{4}

Combinar as frações usando o mínimo múltiplo comum:

π

Aplicar a regra

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π + 5 π}{4}

Somar elementos similares:

- π + 5 π = 4 π

= \frac{4 π}{4}

Dividir:

\frac{4}{4} = 1

= π

= 2 πn + π

x = 2 πn + π

x = 2 πn + π

x = 2 πn + π

Resolver

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn : x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Mova

\frac{π}{4}

para o lado direito

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Subtrair

\frac{π}{4}

de ambos os lados

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Somar elementos similares:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= x

Simplificar

\frac{7 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{3 π}{2}

\frac{7 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Agrupar termos semelhantes

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{7 π}{4}

Combinar as frações usando o mínimo múltiplo comum:

\frac{3 π}{2}

Aplicar a regra

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π + 7 π}{4}

Somar elementos similares:

- π + 7 π = 6 π

= \frac{6 π}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{3 π}{2}

= 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + π, x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

1 + sin (x) - cos (x) = 0 : x = 2 πn + \frac{3 π}{2}, x = 2 πn + 2 π

1 + sin (x) - cos (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

1 + sin (x) - cos (x)

sin (x) - cos (x) = 2 sin (x - \frac{π}{4})

sin (x) - cos (x)

Reescrever como

= 2 (\frac{1}{2} sin (x) - \frac{1}{2} cos (x))

Utilizar a seguinte identidade trivial:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Utilizar a seguinte identidade trivial:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (x) - sin (\frac{π}{4}) cos (x))

Use a identidade de soma de ângulos:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= 2 sin (x - \frac{π}{4})

= 1 + 2 sin (x - \frac{π}{4})

1 + 2 sin (x - \frac{π}{4}) = 0

Mova

1

para o lado direito

1 + 2 sin (x - \frac{π}{4}) = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

1 + 2 sin (x - \frac{π}{4}) - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 sin (x - \frac{π}{4}) = - 1

2 sin (x - \frac{π}{4}) = - 1

Dividir ambos os lados por

2

2 sin (x - \frac{π}{4}) = - 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2} : sin (x - \frac{π}{4})

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= sin (x - \frac{π}{4})

Simplificar

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Racionalizar

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

Soluções gerais para

sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Resolver

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn : x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Mova

\frac{π}{4}

para o lado direito

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Adicionar

\frac{π}{4}

a ambos os lados

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Simplificar

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Simplificar

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} : x

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4}

Somar elementos similares:

- \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = 0

= x

Simplificar

\frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{3 π}{2}

\frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Agrupar termos semelhantes

= 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{5 π}{4}

Combinar as frações usando o mínimo múltiplo comum:

\frac{3 π}{2}

Aplicar a regra

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + 5 π}{4}

Somar elementos similares:

π + 5 π = 6 π

= \frac{6 π}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{3 π}{2}

= 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

Resolver

x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn : x = 2 πn + 2 π

x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Mova

\frac{π}{4}

para o lado direito

x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Adicionar

\frac{π}{4}

a ambos os lados

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Simplificar

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Simplificar

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} : x

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4}

Somar elementos similares:

- \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = 0

= x

Simplificar

\frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4} : 2 πn + 2 π

\frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Agrupar termos semelhantes

= 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{7 π}{4}

Combinar as frações usando o mínimo múltiplo comum:

2 π

Aplicar a regra

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + 7 π}{4}

Somar elementos similares:

π + 7 π = 8 π

= \frac{8 π}{4}

Dividir:

\frac{8}{4} = 2

= 2 π

= 2 πn + 2 π

x = 2 πn + 2 π

x = 2 πn + 2 π

x = 2 πn + 2 π

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}, x = 2 πn + 2 π

Combinar toda as soluções

x = 2 πn + π, x = 2 πn + \frac{3 π}{2}, x = 2 πn + 2 π

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

6 sec (x) + 6 tan (x) = 6

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

2 πn + π :

Falso

2 πn + π

Inserir

n = 1

2 π 1 + π

Para

6 sec (x) + 6 tan (x) = 6

inserir

x = 2 π 1 + π

6 sec (2 π 1 + π) + 6 tan (2 π 1 + π) = 6

Simplificar

- 6 = 6

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

2 πn + \frac{3 π}{2} :

Falso

2 πn + \frac{3 π}{2}

Inserir

n = 1

2 π 1 + \frac{3 π}{2}

Para

6 sec (x) + 6 tan (x) = 6

inserir

x = 2 π 1 + \frac{3 π}{2}

6 sec (2 π 1 + \frac{3 π}{2}) + 6 tan (2 π 1 + \frac{3 π}{2}) = 6

Indefinido

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

2 πn + 2 π :

Verdadeiro

2 πn + 2 π

Inserir

n = 1

2 π 1 + 2 π

Para

6 sec (x) + 6 tan (x) = 6

inserir

x = 2 π 1 + 2 π

6 sec (2 π 1 + 2 π) + 6 tan (2 π 1 + 2 π) = 6

Simplificar

6 = 6

\Rightarrow Verdadeiro

x = 2 πn + 2 π

Gráfico

Exemplos populares

sin(θ)-sin(2θ)=0

16cos(8x)-2=6

sin(x/2)=cos(x)

4sin^2(θ)-4sin(θ)+1=0

2cos(θ)-3=5cos(θ)-5