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beweisen (cos^2(α))/(1-sin(α))=1+sin(α)

Lösung

beweisen

\frac{cos ^{2} ( α )}{1 - sin ( α )} = 1 + sin (α)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{cos ^{2} ( α )}{1 - sin ( α )} = 1 + sin (α)

Manipuliere die linke Seite

\frac{cos ^{2} ( α )}{1 - sin ( α )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( α )}{1 - sin ( α )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( α )}{1 - sin ( α )}

Vereinfache

\frac{1 - sin ^{2} ( α )}{1 - sin ( α )} : sin (α) + 1

\frac{1 - sin ^{2} ( α )}{1 - sin ( α )}

Faktorisiere

1 - sin^{2} (α) : - (sin (α) + 1) (sin (α) - 1)

1 - sin^{2} (α)

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (sin^{2} (α) - 1)

Faktorisiere

sin^{2} (α) - 1 : (sin (α) + 1) (sin (α) - 1)

sin^{2} (α) - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= sin^{2} (α) - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (α) - 1^{2} = (sin (α) + 1) (sin (α) - 1)

= (sin (α) + 1) (sin (α) - 1)

= - (sin (α) + 1) (sin (α) - 1)

= - \frac{( sin ( α ) + 1 ) ( sin ( α ) - 1 )}{1 - sin ( α )}

Streiche

- \frac{( sin ( α ) + 1 ) ( sin ( α ) - 1 )}{1 - sin ( α )} : sin (α) + 1

- \frac{( sin ( α ) + 1 ) ( sin ( α ) - 1 )}{1 - sin ( α )}

- sin (α) + 1 = - (sin (α) - 1)

= - \frac{( sin ( α ) + 1 ) ( sin ( α ) - 1 )}{- ( sin ( α ) - 1 )}

Fasse zusammen

= \frac{( sin ( α ) + 1 ) ( sin ( α ) - 1 )}{sin ( α ) - 1}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (α) - 1

= sin (α) + 1

= sin (α) + 1

= sin (α) + 1

= sin (α) + 1

= 1 + sin (α)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 2 sin^{2} (θ) - 1 = 1 - 2 cos^{2} (θ)

p ro v e \frac{tan ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} = tan^{2} (x) + 1

p ro v e 2 cos^{2} (A) - 1 = 1 - 2 sin^{2} (A)

p ro v e sec^{4} (t) - tan^{4} (t) = 1 + 2 tan^{2} (t)

p ro v e cos (4 θ) = cos^{2} (2 θ) - sin^{2} (2 θ)