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beweisen (tan^2(x))/(sin^2(x))=tan^2(x)+1

Lösung

beweisen

\frac{tan ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} = tan^{2} (x) + 1

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{tan ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} = tan^{2} (x) + 1

Manipuliere die linke Seite

\frac{tan ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{tan ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Vereinfache

\frac{( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{sin ^{2} ( x )} : \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

\frac{( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )}}{sin ^{2} ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin^{2} (x)

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

tan^{2} (x) + 1

Drücke mit sin, cos aus

1 + tan^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Vereinfache

1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 2 cos^{2} (A) - 1 = 1 - 2 sin^{2} (A)

p ro v e sec^{4} (t) - tan^{4} (t) = 1 + 2 tan^{2} (t)

p ro v e cos (4 θ) = cos^{2} (2 θ) - sin^{2} (2 θ)

p ro v e - 30 cos (3 x) sin (3 x) = - 15 sin (6 x)

p ro v e csc^{4} (θ) - cot^{4} (θ) = 2 cot^{2} (θ) + 1