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beweisen (cot^2(B)-cos^2(B))/(csc^2(B)-1)=cos^2(B)

Lösung

beweisen

\frac{cot ^{2} ( B ) - cos ^{2} ( B )}{csc ^{2} ( B ) - 1} = cos^{2} (B)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{cot ^{2} ( B ) - cos ^{2} ( B )}{csc ^{2} ( B ) - 1} = cos^{2} (B)

Manipuliere die linke Seite

\frac{cot ^{2} ( B ) - cos ^{2} ( B )}{csc ^{2} ( B ) - 1}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{- cos ^{2} ( B ) + cot ^{2} ( B )}{- 1 + csc ^{2} ( B )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{- cos ^{2} ( B ) + ( \frac{c o s ( B )}{s i n ( B )} ) ^{2}}{- 1 + csc ^{2} ( B )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{- cos ^{2} ( B ) + ( \frac{c o s ( B )}{s i n ( B )} ) ^{2}}{- 1 + ( \frac{1}{s i n ( B )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{- cos ^{2} ( B ) + ( \frac{c o s ( B )}{s i n ( B )} ) ^{2}}{- 1 + ( \frac{1}{s i n ( B )} ) ^{2}} : cos^{2} (B)

\frac{- cos ^{2} ( B ) + ( \frac{c o s ( B )}{s i n ( B )} ) ^{2}}{- 1 + ( \frac{1}{s i n ( B )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sin ( B )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( B )}

(\frac{1}{sin ( B )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( B )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( B )}

= \frac{- cos ^{2} ( B ) + ( \frac{c o s ( B )}{s i n ( B )} ) ^{2}}{- 1 + \frac{1}{s i n ^{2} ( B )}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{- cos ^{2} ( B ) + \frac{c o s ^{2} ( B )}{s i n ^{2} ( B )}}{- 1 + \frac{1}{s i n ^{2} ( B )}}

Füge

- 1 + \frac{1}{sin ^{2} ( B )}

zusammen:

\frac{- sin ^{2} ( B ) + 1}{sin ^{2} ( B )}

- 1 + \frac{1}{sin ^{2} ( B )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( B )}{sin ^{2} ( B )}

= - \frac{1 \cdot sin ^{2} ( B )}{sin ^{2} ( B )} + \frac{1}{sin ^{2} ( B )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot sin ^{2} ( B ) + 1}{sin ^{2} ( B )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (B) = sin^{2} (B)

= \frac{- sin ^{2} ( B ) + 1}{sin ^{2} ( B )}

= \frac{- cos ^{2} ( B ) + \frac{c o s ^{2} ( B )}{s i n ^{2} ( B )}}{\frac{- s i n ^{2} ( B ) + 1}{s i n ^{2} ( B )}}

Füge

- cos^{2} (B) + \frac{cos ^{2} ( B )}{sin ^{2} ( B )}

zusammen:

\frac{- cos ^{2} ( B ) sin ^{2} ( B ) + cos ^{2} ( B )}{sin ^{2} ( B )}

- cos^{2} (B) + \frac{cos ^{2} ( B )}{sin ^{2} ( B )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos^{2} (B) = \frac{cos ^{2} ( B ) sin ^{2} ( B )}{sin ^{2} ( B )}

= - \frac{cos ^{2} ( B ) sin ^{2} ( B )}{sin ^{2} ( B )} + \frac{cos ^{2} ( B )}{sin ^{2} ( B )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ^{2} ( B ) sin ^{2} ( B ) + cos ^{2} ( B )}{sin ^{2} ( B )}

= \frac{\frac{- c o s ^{2} ( B ) s i n ^{2} ( B ) + c o s ^{2} ( B )}{s i n ^{2} ( B )}}{\frac{- s i n ^{2} ( B ) + 1}{s i n ^{2} ( B )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( - cos ^{2} ( B ) sin ^{2} ( B ) + cos ^{2} ( B ) ) sin ^{2} ( B )}{sin ^{2} ( B ) ( - sin ^{2} ( B ) + 1 )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin^{2} (B)

= \frac{- cos ^{2} ( B ) sin ^{2} ( B ) + cos ^{2} ( B )}{- sin ^{2} ( B ) + 1}

Klammere gleiche Terme aus

cos^{2} (B)

= \frac{cos ^{2} ( B ) ( - sin ^{2} ( B ) + 1 )}{- sin ^{2} ( B ) + 1}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

- sin^{2} (B) + 1

= cos^{2} (B)

= cos^{2} (B)

= cos^{2} (B)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cos (2 a) = 1 - 2 sin^{2} (a)

p ro v e sec^{2} (x) - tan^{2} (x) = tan (x) cot (x)

p ro v e \frac{tan ( θ )}{tan ( θ ) - 1} = \frac{1}{1 - cot ( θ )}

p ro v e csc (u) - sin (u) = cos (u) cot (u)

p ro v e \frac{1 + tan ^{2} ( x )}{csc ( x ) sec ( x )} = tan (x)