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beweisen (sec(x)+tan(x))/(csc(x)+1)=tan(x)

Lösung

beweisen

\frac{sec ( x ) + tan ( x )}{csc ( x ) + 1} = tan (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sec ( x ) + tan ( x )}{csc ( x ) + 1} = tan (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sec ( x ) + tan ( x )}{csc ( x ) + 1}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{sec ( x ) + tan ( x )}{1 + csc ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ( x )} + tan ( x )}{1 + csc ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ( x )} + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{1 + csc ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ( x )} + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

Vereinfache

\frac{\frac{1}{c o s ( x )} + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}} : \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{\frac{1}{c o s ( x )} + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{1}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{1 + sin ( x )}{cos ( x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{\frac{1 + s i n ( x )}{c o s ( x )}}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1 + sin ( x )}{cos ( x ) ( 1 + \frac{1}{s i n ( x )} )}

Füge

1 + \frac{1}{sin ( x )}

zusammen:

\frac{sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

1 + \frac{1}{sin ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{1 + sin ( x )}{\frac{s i n ( x ) + 1}{s i n ( x )} cos ( x )}

Multipliziere

cos (x) \frac{sin ( x ) + 1}{sin ( x )} : \frac{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}{sin ( x )}

cos (x) \frac{sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sin ( x ) + 1 ) cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 + sin ( x )}{\frac{c o s ( x ) ( s i n ( x ) + 1 )}{s i n ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 + sin ( x ) ) sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) cos ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

1 + sin (x)

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sec (x) tan (x) cos (x) cot (x) = 1

p ro v e 1 - sec (x) cos^{3} (x) = sin^{2} (x)

p ro v e tan (3 π + θ) = tan (θ)

p ro v e 4 sin (- x) cos (- x) = - 2 sin (2 x)

p ro v e sin (x) cos (x) = \frac{1}{2} sin (2 x)