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beweisen (tan(β)+sec(β))(1-sin(β))=cos(β)

Lösung

beweisen

(tan (β) + sec (β)) (1 - sin (β)) = cos (β)

Wahr

Schritte zur Lösung

(tan (β) + sec (β)) (1 - sin (β)) = cos (β)

Manipuliere die linke Seite

(tan (β) + sec (β)) (1 - sin (β))

Drücke mit sin, cos aus

(1 - sin (β)) (sec (β) + tan (β))

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (1 - sin (β)) (\frac{1}{cos ( β )} + tan (β))

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (1 - sin (β)) (\frac{1}{cos ( β )} + \frac{sin ( β )}{cos ( β )})

Vereinfache

(1 - sin (β)) (\frac{1}{cos ( β )} + \frac{sin ( β )}{cos ( β )}) : \frac{( 1 + sin ( β ) ) ( 1 - sin ( β ) )}{cos ( β )}

(1 - sin (β)) (\frac{1}{cos ( β )} + \frac{sin ( β )}{cos ( β )})

Vereinfache

\frac{1}{cos ( β )} + \frac{sin ( β )}{cos ( β )} : \frac{sin ( β ) + 1}{cos ( β )}

\frac{1}{cos ( β )} + \frac{sin ( β )}{cos ( β )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sin ( β )}{cos ( β )}

= \frac{sin ( β ) + 1}{cos ( β )} (- sin (β) + 1)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 1 + sin ( β ) ) ( 1 - sin ( β ) )}{cos ( β )}

= \frac{( 1 + sin ( β ) ) ( 1 - sin ( β ) )}{cos ( β )}

= \frac{( 1 + sin ( β ) ) ( 1 - sin ( β ) )}{cos ( β )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{( 1 + sin ( β ) ) ( 1 - sin ( β ) )}{cos ( β )}

Multipliziere aus

(1 + sin (β)) (1 - sin (β)) : 1 - sin^{2} (β)

(1 + sin (β)) (1 - sin (β))

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (β)

= 1^{2} - sin^{2} (β)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (β)

= \frac{1 - sin ^{2} ( β )}{cos ( β )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (β) + sin^{2} (β)

1 - sin^{2} (β) = cos^{2} (β)

= \frac{cos ^{2} ( β )}{cos ( β )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (β)

= cos (β)

= cos (β)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (α + β) = sin (α) cos (β) + sin (β) cos (α)

p ro v e - cos (- x) + sec (x) = tan (x) sin (x)

p ro v e \frac{1}{1 - tan ^{2} ( θ )} + \frac{1}{1 - cot ^{2} ( θ )} = 1

p ro v e \frac{sec ^{2} ( x ) - 6 tan ( x ) + 7}{sec ^{2} ( x ) - 5} = \frac{tan ( x ) - 4}{tan ( x ) + 2}

p ro v e 1 - cos (x) = 2 sin^{2} (\frac{x}{2})