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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (sec^2(x)-6tan(x)+7)/(sec^2(x)-5)=(tan(x)-4)/(tan(x)+2)

Lösung

beweisen

\frac{sec ^{2} ( x ) - 6 tan ( x ) + 7}{sec ^{2} ( x ) - 5} = \frac{tan ( x ) - 4}{tan ( x ) + 2}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sec ^{2} ( x ) - 6 tan ( x ) + 7}{sec ^{2} ( x ) - 5} = \frac{tan ( x ) - 4}{tan ( x ) + 2}

Manipuliere die linke Seite

\frac{sec ^{2} ( x ) - 6 tan ( x ) + 7}{sec ^{2} ( x ) - 5}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sec ^{2} ( x ) - 6 tan ( x ) + 7}{sec ^{2} ( x ) - 5}

Verwende die Pythagoreische Identität:

sec^{2} (x) = tan^{2} (x) + 1

= \frac{tan ^{2} ( x ) + 1 - 6 tan ( x ) + 7}{tan ^{2} ( x ) + 1 - 5}

Vereinfache

\frac{tan ^{2} ( x ) + 1 - 6 tan ( x ) + 7}{tan ^{2} ( x ) + 1 - 5} : \frac{tan ( x ) - 4}{tan ( x ) + 2}

\frac{tan ^{2} ( x ) + 1 - 6 tan ( x ) + 7}{tan ^{2} ( x ) + 1 - 5}

tan^{2} (x) + 1 - 6 tan (x) + 7 = tan^{2} (x) - 6 tan (x) + 8

tan^{2} (x) + 1 - 6 tan (x) + 7

Fasse gleiche Terme zusammen

= tan^{2} (x) - 6 tan (x) + 1 + 7

Addiere die Zahlen:

1 + 7 = 8

= tan^{2} (x) - 6 tan (x) + 8

= \frac{tan ^{2} ( x ) - 6 tan ( x ) + 8}{tan ^{2} ( x ) + 1 - 5}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

1 - 5 = - 4

= \frac{tan ^{2} ( x ) - 6 tan ( x ) + 8}{tan ^{2} ( x ) - 4}

Faktorisiere

tan^{2} (x) - 6 tan (x) + 8 : (tan (x) - 2) (tan (x) - 4)

tan^{2} (x) - 6 tan (x) + 8

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

tan^{2} (x) - 6 tan (x) + 8

Definition

Faktoren von

8 : 1, 2, 4, 8

8

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

8 : 2, 2, 2

8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Primfaktoren von

8 : 4

2 \cdot 2 = 4

4

4

Addiere alle Primfaktoren.

2

Addiere 1 und die Zahl

8

selbst

1, 8

Die Faktoren von

8

1, 2, 4, 8

Negative Faktoren von

8 : - 1, - 2, - 4, - 8

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2, - 4, - 8

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = 8,

prüfe, ob

u + v = - 6

Prüfe

u = 1, v = 8 : u * v = 8, u + v = 9 \Rightarrow

FalschPrüfe

u = 2, v = 4 : u * v = 8, u + v = 6 \Rightarrow

Falsch

u = - 2, v = - 4

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(tan^{2} (x) - 2 tan (x)) + (- 4 tan (x) + 8)

= (tan^{2} (x) - 2 tan (x)) + (- 4 tan (x) + 8)

Klammere

tan (x)

aus

tan^{2} (x) - 2 tan (x)

aus

: tan (x) (tan (x) - 2)

tan^{2} (x) - 2 tan (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

tan^{2} (x) = tan (x) tan (x)

= tan (x) tan (x) - 2 tan (x)

Klammere gleiche Terme aus

tan (x)

= tan (x) (tan (x) - 2)

Klammere

- 4

aus

- 4 tan (x) + 8

aus

: - 4 (tan (x) - 2)

- 4 tan (x) + 8

Schreibe

8

um:

4 \cdot 2

= - 4 tan (x) + 4 \cdot 2

Klammere gleiche Terme aus

- 4

= - 4 (tan (x) - 2)

= tan (x) (tan (x) - 2) - 4 (tan (x) - 2)

Klammere gleiche Terme aus

tan (x) - 2

= (tan (x) - 2) (tan (x) - 4)

= \frac{( tan ( x ) - 2 ) ( tan ( x ) - 4 )}{tan ^{2} ( x ) - 4}

Faktorisiere

tan^{2} (x) - 4 : (tan (x) + 2) (tan (x) - 2)

tan^{2} (x) - 4

Schreibe

4

um:

2^{2}

= tan^{2} (x) - 2^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

tan^{2} (x) - 2^{2} = (tan (x) + 2) (tan (x) - 2)

= (tan (x) + 2) (tan (x) - 2)

= \frac{( tan ( x ) - 2 ) ( tan ( x ) - 4 )}{( tan ( x ) + 2 ) ( tan ( x ) - 2 )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

tan (x) - 2

= \frac{tan ( x ) - 4}{tan ( x ) + 2}

= \frac{tan ( x ) - 4}{tan ( x ) + 2}

= \frac{tan ( x ) - 4}{tan ( x ) + 2}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen 1-cos(x)=2sin^2(x/2)

p ro v e 1 - cos (x) = 2 sin^{2} (\frac{x}{2})

beweisen cos(3A)=4cos^3(A)-3cos(A)

p ro v e cos (3 A) = 4 cos^{3} (A) - 3 cos (A)

beweisen cos(3θ)=cos^3(θ)-3sin^2(θ)cos(θ)

p ro v e cos (3 θ) = cos^{3} (θ) - 3 sin^{2} (θ) cos (θ)

beweisen cos^2(B)-sin^2(B)=2cos^2(B)-1

p ro v e cos^{2} (B) - sin^{2} (B) = 2 cos^{2} (B) - 1

beweisen csc^2(x)cos^2(x)= 1/(tan^2(x))

p ro v e csc^{2} (x) cos^{2} (x) = \frac{1}{tan ^{2} ( x )}