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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (sec^2(x)-6tan(x)+7)/(sec^2(x)-5)=(tan(x)-4)/(tan(x)+2)

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Lösung

beweisen sec2(x)−5sec2(x)−6tan(x)+7​=tan(x)+2tan(x)−4​

Lösung

Wahr
Schritte zur Lösung
sec2(x)−5sec2(x)−6tan(x)+7​=tan(x)+2tan(x)−4​
Manipuliere die linke Seitesec2(x)−5sec2(x)−6tan(x)+7​
Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten
sec2(x)−5sec2(x)−6tan(x)+7​
Verwende die Pythagoreische Identität: sec2(x)=tan2(x)+1=tan2(x)+1−5tan2(x)+1−6tan(x)+7​
Vereinfache tan2(x)+1−5tan2(x)+1−6tan(x)+7​:tan(x)+2tan(x)−4​
tan2(x)+1−5tan2(x)+1−6tan(x)+7​
tan2(x)+1−6tan(x)+7=tan2(x)−6tan(x)+8
tan2(x)+1−6tan(x)+7
Fasse gleiche Terme zusammen=tan2(x)−6tan(x)+1+7
Addiere die Zahlen: 1+7=8=tan2(x)−6tan(x)+8
=tan2(x)+1−5tan2(x)−6tan(x)+8​
Addiere/Subtrahiere die Zahlen: 1−5=−4=tan2(x)−4tan2(x)−6tan(x)+8​
Faktorisiere tan2(x)−6tan(x)+8:(tan(x)−2)(tan(x)−4)
tan2(x)−6tan(x)+8
Zerlege die Ausdrücke in Gruppen
tan2(x)−6tan(x)+8
Definition
Faktoren von 8:1,2,4,8
8
Teiler (Faktoren)
Finde die Primfaktoren von 8:2,2,2
8
8ist durch 28=4⋅2teilbar=2⋅4
4ist durch 24=2⋅2teilbar=2⋅2⋅2
2 ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.=2⋅2⋅2
Multipliziere die Primfaktoren von 8:4
2⋅2=4
4
4
Addiere alle Primfaktoren.2
Addiere 1 und die Zahl 8 selbst1,8
Die Faktoren von 81,2,4,8
Negative Faktoren von 8:−1,−2,−4,−8
Multipliziere die Faktoren mit −1 um die negativen Faktoren zu erhalten−1,−2,−4,−8
Für alle zwei Faktoren gilt u∗v=8,prüfe, ob u+v=−6
Prüfe u=1,v=8:u∗v=8,u+v=9⇒FalschPrüfe u=2,v=4:u∗v=8,u+v=6⇒Falsch
u=−2,v=−4
Gruppiere (ax2+ux)+(vx+c)(tan2(x)−2tan(x))+(−4tan(x)+8)
=(tan2(x)−2tan(x))+(−4tan(x)+8)
Klammere tan(x) aus tan2(x)−2tan(x)aus:tan(x)(tan(x)−2)
tan2(x)−2tan(x)
Wende Exponentenregel an: ab+c=abactan2(x)=tan(x)tan(x)=tan(x)tan(x)−2tan(x)
Klammere gleiche Terme aus tan(x)=tan(x)(tan(x)−2)
Klammere −4 aus −4tan(x)+8aus:−4(tan(x)−2)
−4tan(x)+8
Schreibe 8um: 4⋅2=−4tan(x)+4⋅2
Klammere gleiche Terme aus −4=−4(tan(x)−2)
=tan(x)(tan(x)−2)−4(tan(x)−2)
Klammere gleiche Terme aus tan(x)−2=(tan(x)−2)(tan(x)−4)
=tan2(x)−4(tan(x)−2)(tan(x)−4)​
Faktorisiere tan2(x)−4:(tan(x)+2)(tan(x)−2)
tan2(x)−4
Schreibe 4um: 22=tan2(x)−22
Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:x2−y2=(x+y)(x−y)tan2(x)−22=(tan(x)+2)(tan(x)−2)=(tan(x)+2)(tan(x)−2)
=(tan(x)+2)(tan(x)−2)(tan(x)−2)(tan(x)−4)​
Streiche die gemeinsamen Faktoren: tan(x)−2=tan(x)+2tan(x)−4​
=tan(x)+2tan(x)−4​
=tan(x)+2tan(x)−4​
Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können⇒Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen 1-cos(x)=2sin^2(x/2)prove1−cos(x)=2sin2(2x​)beweisen cos(3A)=4cos^3(A)-3cos(A)provecos(3A)=4cos3(A)−3cos(A)beweisen cos(3θ)=cos^3(θ)-3sin^2(θ)cos(θ)provecos(3θ)=cos3(θ)−3sin2(θ)cos(θ)beweisen cos^2(B)-sin^2(B)=2cos^2(B)-1provecos2(B)−sin2(B)=2cos2(B)−1beweisen csc^2(x)cos^2(x)= 1/(tan^2(x))provecsc2(x)cos2(x)=tan2(x)1​
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