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受欢迎的三角函数 >

证明 tan(θ/2)=(1-cos(θ))/(sin(θ))

解答

证明

tan (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{sin ( θ )}

解答

真

求解步骤

tan (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{sin ( θ )}

令

: u = \frac{θ}{2}

tan (u) = \frac{1 - cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

证明

tan (u) = \frac{1 - cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )} :

真

tan (u) = \frac{1 - cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

调整右侧

\frac{1 - cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

使用三角恒等式改写

\frac{1 - cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

使用倍角公式:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{1 - cos ( 2 u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

使用倍角公式:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

化简

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2 sin ( u ) cos ( u )} : \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

乘开

1 - (1 - 2 sin^{2} (u)) : 2 sin^{2} (u)

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

- (1 - 2 sin^{2} (u)) : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u))

打开括号

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

使用加减运算法则

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (u)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (u)

= \frac{2 sin ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

数字相除:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ^{2} ( u )}{sin ( u ) cos ( u )}

约分:

sin (u)

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

使用基本三角恒等式:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (u)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

因此

tan (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{sin ( θ )}

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 1/(2cos(x)sin(x))=csc(2x)

p ro v e \frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )} = csc (2 x)

证明 cos(x+pi/2)=sin(x)

p ro v e cos (x + \frac{π}{2}) = sin (x)

证明 tan(pi/2-x)sin(x)=cos(x)

p ro v e tan (\frac{π}{2} - x) sin (x) = cos (x)

证明 (1+sin(x))(1+sin(-x))=cos^2(x)

p ro v e (1 + sin (x)) (1 + sin (- x)) = cos^{2} (x)

证明 1-tan^2(x/2)=(2cos(x))/(1+cos(x))

p ro v e 1 - tan^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2 cos ( x )}{1 + cos ( x )}