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beweisen tan(θ/2)=(1-cos(θ))/(sin(θ))

Lösung

beweisen

tan (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{sin ( θ )}

Wahr

Schritte zur Lösung

tan (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{sin ( θ )}

Angenommen:

u = \frac{θ}{2}

tan (u) = \frac{1 - cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

Beweise

tan (u) = \frac{1 - cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )} :

Wahr

tan (u) = \frac{1 - cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{1 - cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{1 - cos ( 2 u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

Vereinfache

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2 sin ( u ) cos ( u )} : \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

Multipliziere aus

1 - (1 - 2 sin^{2} (u)) : 2 sin^{2} (u)

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

- (1 - 2 sin^{2} (u)) : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (u)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (u)

= \frac{2 sin ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ^{2} ( u )}{sin ( u ) cos ( u )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (u)

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (u)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Deshalb

tan (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{sin ( θ )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )} = csc (2 x)

p ro v e cos (x + \frac{π}{2}) = sin (x)

p ro v e tan (\frac{π}{2} - x) sin (x) = cos (x)

p ro v e (1 + sin (x)) (1 + sin (- x)) = cos^{2} (x)

p ro v e 1 - tan^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2 cos ( x )}{1 + cos ( x )}