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Beliebt Trigonometrie >

beweisen 1-tan^2(x/2)=(2cos(x))/(1+cos(x))

Lösung

beweisen

1 - tan^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2 cos ( x )}{1 + cos ( x )}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

1 - tan^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2 cos ( x )}{1 + cos ( x )}

Angenommen:

u = \frac{x}{2}

1 - tan^{2} (u) = \frac{2 cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

Beweise

1 - tan^{2} (u) = \frac{2 cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )} :

Wahr

1 - tan^{2} (u) = \frac{2 cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

Manipuliere die linke Seite

1 - tan^{2} (u)

Drücke mit sin, cos aus

1 - tan^{2} (u)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 1 - (\frac{sin ( u )}{cos ( u )})^{2}

Vereinfache

1 - (\frac{sin ( u )}{cos ( u )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

1 - (\frac{sin ( u )}{cos ( u )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= 1 - \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )} - \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (u) = cos^{2} (u)

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( u ) - ( 1 - cos ^{2} ( u ) )}{cos ^{2} ( u )}

Multipliziere aus

cos^{2} (u) - (1 - cos^{2} (u)) : 2 cos^{2} (u) - 1

cos^{2} (u) - (1 - cos^{2} (u))

- (1 - cos^{2} (u)) : - 1 + cos^{2} (u)

- (1 - cos^{2} (u))

Setze Klammern

= - (1) - (- cos^{2} (u))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (u)

= cos^{2} (u) - 1 + cos^{2} (u)

Vereinfache

cos^{2} (u) - 1 + cos^{2} (u) : 2 cos^{2} (u) - 1

cos^{2} (u) - 1 + cos^{2} (u)

Fasse gleiche Terme zusammen

= cos^{2} (u) + cos^{2} (u) - 1

Addiere gleiche Elemente:

cos^{2} (u) + cos^{2} (u) = 2 cos^{2} (u)

= 2 cos^{2} (u) - 1

= 2 cos^{2} (u) - 1

= \frac{2 cos ^{2} ( u ) - 1}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{2 cos ^{2} ( u ) - 1}{cos ^{2} ( u )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{2 cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{2 cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= \frac{2 ( 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}

Vereinfache

\frac{2 ( 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1} : \frac{2 cos ^{2} ( u ) - 1}{cos ^{2} ( u )}

\frac{2 ( 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}

1 + 2 cos^{2} (u) - 1 = 2 cos^{2} (u)

1 + 2 cos^{2} (u) - 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (u) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (u)

= \frac{2 ( 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}{2 cos ^{2} ( u )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{2 cos ^{2} ( u ) - 1}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{2 cos ^{2} ( u ) - 1}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{2 cos ^{2} ( u ) - 1}{cos ^{2} ( u )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Deshalb

1 - tan^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2 cos ( x )}{1 + cos ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen (cos(3x))/(cos(x))=4cos^2(x)-3

p ro v e \frac{cos ( 3 x )}{cos ( x )} = 4 cos^{2} (x) - 3

beweisen sin(arcsin(x)+arccos(x))=1

p ro v e sin (arcsin (x) + arccos (x)) = 1

beweisen sin(16x)=2sin(8x)cos(8x)

p ro v e sin (16 x) = 2 sin (8 x) cos (8 x)

beweisen sin(pi/2-x)sec(x)=1

p ro v e sin (\frac{π}{2} - x) sec (x) = 1

beweisen (sin(θ))/(1-cos^2(θ))=csc(θ)

p ro v e \frac{sin ( θ )}{1 - cos ^{2} ( θ )} = csc (θ)